一個定義，三個答案
上一篇指南在抽象層面把這個想法建立了起來：對一個線性算子 L，基本解 E 是對單一、無限集中的點源的回應，也就是滿足 L E = delta 的那個分布。一旦握有 E，疊加原理就透過卷積把對任意源 f 的答案交給你：u(x) = integral of E(x - y) f(y) dy——你把單點回應沿著源塗抹開來。那個故事誠實，卻沒有血肉。這篇指南會替它注入身體，去計算整個學科那三個模型算子的 E，而重點在於：這三個 E 長得完全不同。
為什麼偏偏在意三個？因為算子 u_xx + u_yy = 0（拉普拉斯）、u_t = k u_xx（熱）與 u_tt = c^2 u_xx（波）正是橢圓型、拋物型與雙曲型的代表——也就是你在下兩階遇過的 B^2 - A C 分類那三個格子。基本解是對一個算子性格最銳利的一張 X 光片：它呈現的是這個算子對你所能想像最猛烈輸入的反應。所以當拉普拉斯回給你一個平滑的隆起、熱方程回給你一個融化中的鐘形、波動回給你一個尖銳移動的尖峰，你看到的就是橢圓型／拋物型／雙曲型的性格，各用一張圖赤裸裸地攤開。
拉普拉斯：一個穩定、平滑的位勢
從橢圓型算子拉普拉斯算子開始，問：坐落在原點的單一點電荷會產生什麼樣的穩定場？這恰恰就是 L = -Laplacian 時的 L E = delta，而答案你早就從物理學知道了——它就是單位點電荷的場。在三維，基本解是牛頓位勢 E(x) = 1/(4 pi |x|)：一個平滑、徑向對稱的隆起，在源點處無窮大，在其他每一處都像「一除以距離」那樣衰減。在二維則改為對數位勢，正比於 -log|x| / (2 pi)。
兩個特徵值得慢慢看。第一，遠離那唯一的源點，E 是完美平滑的，並且滿足 Laplacian E = 0——它在尖峰以外的每一處都是調和函數，這正是你對一個橢圓型方程所期望的，因為它沒有偏好的方向、也沒有時間的概念。第二，唯一的瑕疵——那個奇異性——恰好坐落在源點上；delta 完全活在那裡。接著把它與一個攤開的電荷密度 f 做卷積，就給出熟悉的位勢 u(x) = integral of f(y) / (4 pi |x - y|) dy——密度 f 的重力或靜電位勢，視野裡看不到任何邊界。
熱：一個融化並擴散的高斯
現在把時間打開。對拋物型的熱算子，我們問：把全部的熱集中到某一瞬間的某一個點，然後觀看。答案是熱核，在整條直線上它是高斯函數 G(x,t) = (1 / sqrt(4 pi k t)) e^(-x^2 / (4 k t))，其中 t > 0。把它想成一部電影：在最初的一瞬，它是一根高得離譜、細得離譜的尖峰（那就是 delta），而隨著 t 增大，它融化成一個越來越寬、越來越低的鐘形。它的寬度像 sqrt(4 k t) 那樣成長——擴散是用爬的，像時間的平方根那樣鋪開，而不是線性的——同時它的面積永遠精確保持為 1，這不過是你一開始那份總熱量的守恆。
高斯函數的兩個特質背負了擴散的全部性格，兩者都值得誠實地點名。因為高斯函數是無窮平滑的，把任何粗糙的初始溫度 f 與它做卷積，u(x,t) = integral of G(x - y, t) f(y) dy，會立刻把 f 變成完美平滑的東西——就是你一階之前看到的、主宰傅立葉模態的那個平滑化效應，如今在單一條公式裡現形。又因為高斯的尾巴雖小卻從不精確為零，每一個點都立刻感受到源：熱具有無窮的傳播速度。這在物理上其實是個小謊——真正沒有東西能跑得比光快——它是熱模型一個已知、被接受的理想化，而不是字面上的主張。
在 t > 0 裡藏著一個尖銳的不對稱。熱核只在往前的方向存在；試著把同一條公式朝負的 t 跑，1/sqrt(4 k t) 會變成虛數，高斯也會反轉成一個爆炸。這與逆向熱方程是同一種不適定：擴散有方向。也要注意那個誠實的但書——這個乾淨的高斯是整條直線上的自由空間熱核。你一旦把桿子放進兩道牆之間，熱核的形狀就會改變（它會由本徵函數重建，或在接下來兩篇指南裡用鏡像法重建），儘管它扮演的是一模一樣的角色。
波：一層尖銳的殼，行進並保持尖銳
最後輪到雙曲型的波動算子，它再不同也不過了。讓一個源在某一點亮起一瞬，看看在三維的空氣裡會發生什麼。延遲基本解是 E_ret = delta(t - |x|/c) / (4 pi |x|)：整個回應恰好活在那個膨脹的球面 |x| = c t 上。在閃光之前什麼都不發生（因果性——這就是它被叫做延遲的原因），擾動以波速 c 向外狂奔，而關鍵在於那個尖峰保持為尖峰。波完全不平滑；它把尖銳的 delta 一路帶著走，形狀絲毫不減。
把三者並排比較，分類就活了過來。拉普拉斯的 E 平滑而無關時間，一次就鋪滿整個空間——橢圓型，沒有方向。熱的 E 平滑、在時間上單向、且瞬間無所不在——拋物型，無窮速度，平滑化。波的 E 尖銳、在時間上單向，而且只在 c t = |x| 那一精確時刻抵達你——雙曲型，有限速度，不平滑。波那層尖銳的殼正是有限傳播速度最乾淨的樣子：半徑 c t 的球面之外的資料根本還沒到。它與熱核那種瞬間、無所不在的影響恰恰相反。
在使用之前，三個誠實的提醒
這三個物件是這個學科其餘部分的主力，但它們附帶了一些小字條款。第一，它們沒有一個是唯一的。對任何一個基本解，你都可以加上齊次方程 L v = 0 的任一個解，仍然有 L(E + v) = delta。把 E 釘死的是一個附加條件：拉普拉斯要求在無窮遠處衰減，熱要求在時間上往前，波則要求因果性（選延遲解而非超前解）。所謂的「基本解」其實是「我們用一個物理上合理的附加條件挑出來的那一個」。
第二，這每一個都活在自由空間裡——整條直線、整個平面或整個空間，沒有牆。它們解的是無界問題。一旦出現邊界，基本解就必須被修正：你加上一個齊次方程的項，使它同時也滿足邊界條件，而修正後的物件就是格林函數。那個修正正是下一篇指南的主題，而建構它最聰明的辦法——擺放虛擬的鏡像源——則是再下一篇的鏡像法。
operator fundamental solution E (free space) character -------- ---------------------------------- --------- -Laplacian 1/(4 pi |x|) (3D Newtonian potential) smooth, timeless u_t - k u_xx (1/sqrt(4 pi k t)) e^(-x^2/(4 k t)) smooth, forward, infinite speed wave (3D) delta(t - |x|/c) / (4 pi |x|) sharp shell, finite speed general source: u = E * f (convolve the point-response with f)
第三，卷積把戲 u = E * f 處理的是一個源 f，但真實的問題通常同時還有初始或邊界資料要滿足。把一個受驅動的問題拆成「處理源的一塊」（用 E）和「處理資料的一塊」、再相加，正是收尾這一階的表示公式與杜哈梅原理的精神。就目前而言，唯一要帶走的一件事是：三個模型算子各有一個明確的點回應，而它的形狀——平滑的隆起、融化的鐘形、或行進的殼——在你動手算任何東西之前，就已經告訴你那條方程將會如何表現。