這一階要回答的問題
到現在為止，你已經能解不少 齊次 問題了：一根內部沒有加熱器、單純冷卻的金屬棒，一條沒有任何東西推它、單純振動的弦，一個室內沒有電荷、單純的穩態電位。所用的工具是 疊加原理——把簡單的解加起來、配上資料，就完成了。但真實世界裡到處都是 驅動：一台加熱棒子的加熱器、一隻搖弦的手、一個驅動場的電荷密度。這種驅動會以一個不含未知量的多餘項出現，也就是 源項，把齊次方程變成一個 非齊次 的方程，像 u_t - k u_xx = f(x, t)。
這就是整階要回答的問題，而且它問得無比鋒利：給定一個帶有 任意 源 f 的非齊次 線性偏微分方程，我們能不能一勞永逸地用 f 把解寫出來？不是每換一台加熱器就從頭再解一次，而是建造一個單一的物件——一台機器——它吃進任何 f，就交還對應的解。答案是肯定的，而這台機器有個名字，我們會在這一階結束時抵達：格林函數。本篇第一篇先慢慢地、物理地搭起它背後的構想，任何公式登場之前。
尖銳的一戳：點源
想像你能想到的最簡單的驅動：不是沿著整根棒子鋪開的加熱器，而是單獨一個、無限集中的脈衝——所有的熱在一瞬間全傾倒在單一點 x = 0 上，別的地方、別的時刻都沒有。作為「一單位的東西全擠進單一點」的理想化，這就是 狄拉克 δ，寫成 delta(x)。它除了一點之外處處為零，在那一點則為無限，然而它的總積分卻恰好是 1。沒有任何普通函數做得到這件事，這是個誠實的陷阱，我們稍後會回來談。
為什麼要費神去用這麼一個劇烈、不合物理的物件？因為它是完美的 探針。真實的源 f(x) 是鋪開的、複雜的、每個問題裡都不同。但你可以把它想成一大群密集的微小點源，每一個位置 x' 上都站著一個，各自攜帶當地的份量 f(x')。如果你知道系統對 一個 孤立點源的回應——也就是 δ 源響應——你就會知道它對整群人的回應，只要把每個人各自的響應加起來就好。δ 就是那塊單一的磚，每一個源都是由它砌成的。
誠實地談響應：它是分佈，不是函數
現在把那一下戳刺餵進一個線性算子 L——比方說熱算子 L u = u_t - k u_xx——然後求它的解。輸出就是對單位點源的響應，它有自己的名字：基本解，也就是滿足 L E = delta 的物件 E。事實上你早已遇過一個著名的例子，只是沒這樣稱呼它。那個鐘形、從單一熱點向外擴散的高斯函數——熱核——就是 熱方程的基本解：它確確實實就是你在某一瞬間、某一點上投入一單位的熱所得到的溫度分佈。
但這裡就是先前答應你的那個陷阱，必須直說。既然 delta 不是函數，方程 L E = delta 就不能照普通的、代入一點的意思去讀——而且基本解本身往往是奇異的，在源所在之處發散。誠實的舞台是 分佈 的語言，那是你在這同一道階梯上更早搭起的嚴謹框架。在那裡，delta 是個完全正當的 分佈，L E = delta 是個精確的陳述（拿來對著平滑的 測試函數 檢驗），而 E 是一個 廣義函數，它可以在一點為無限卻仍以分佈的意義解方程。「對點源的響應」這個直覺完全正確；嚴謹之處在於它讓「點源」真的有了意義。
把戳刺縫起來：化作積分的疊加
現在來收割成果。假設 L E = delta 給出對原點一戳的響應。由於常係數算子的對稱性，在任何其他點 x' 戳一下，只會產生一個平移過的副本 E(x - x')。而一個 強度 為 f(x') 的戳，會產生 f(x') E(x - x')，因為方程是線性的：源加倍，響應就加倍。真實的源 f 是所有這些戳的總和，所以由疊加原理，解就是它們所有響應的總和——其實是積分。
L E = delta (one unit poke at the origin -> the fundamental solution E) L u = f (any spread-out source f) u(x) = integral of E(x - x') f(x') dx' ( = E * f, a convolution ) Check: L u = integral of [L E](x - x') f(x') dx' = integral of delta(x - x') f(x') dx' = f(x)
那個積分 u = E * f 是個 卷積，整個魔法就濃縮在這一行：你只 解了一次 方程，為那單一的點源解的，而現在每一個其他的源都靠積分來處理。機器造一次，就能永遠運轉。（當 E 是分佈時，要讓 E * f 說得通，再一次，正是更早那一階的 分佈的卷積 派上用場之處——嚴謹的工具早已在你手中。）把一個解表達成這樣一個對源積分的式子，有個名字，我們會在這一階接下來的篇幅裡反覆倚靠它：表示公式。
從自由空間到有牆的房間
基本解 E 回答的是自由空間裡的點源問題——一根無限長的棒、一個無界的平面，沒有牆要服從。但大多數真實問題活在一個 有界 區域裡、帶著邊界條件：一根維持固定溫度的有限長棒、一面沿邊緣夾住的鼓、一個接地金屬箱裡的電荷。在那裡，光禿禿的點源響應靠自己是不夠的，因為它無視了牆。補救之道是加上一個巧妙的修正。
邊界值問題的完整 格林函數 G 由兩塊拼成：自由空間的基本解，它在源處供給正確的奇異性，再加上一個平滑的 邊界修正項——一個自身不帶源的齊次方程的額外解，調校到使得 兩者之和 恰好滿足邊界條件。格林函數 就是這個合起來的物件：對點源的響應，但它 同時 尊重了牆。第三篇會仔細地把它建起來；第四篇會展示一個漂亮的技巧——鏡像法——在半空間與球這類簡單幾何上找出那個修正項。
同一個構想，這回搬到時間裡
最後一個延伸，讓點源的構想觸及含時的方程，也就是熱方程與波動方程。在那裡，自然的一戳是在單一 瞬間 開啟的源：時刻 s 的一道熱閃光，或對弦的單獨一記尖銳輕敲。對時刻 s 一戳的響應只在 之後 才被感受到，也就是 t > s——因先於果——所以相關的核被造成在源觸發之前為零。對時間之箭的這份尊重，正是一個 熱 或波動問題所要求的，而它通往格林函數的因果版本。
當你疊加這些定時的戳——把響應對直到當下 t 的所有瞬間 s 積分——你會得到一位穿著新戲服的老朋友。這就是 杜哈梅原理：藉由把每一個瞬時源的自由演化加總起來，解出受迫的問題。你大概在常微分方程裡遇過它，在熱方程那一階裡又遇過一次；現在你能看清它 為什麼 成立了。它不過就是點源響應的疊加，套用在時間方向上而已。完整的故事——空間裡的表示公式、時間裡的杜哈梅——是這一階的壓軸，在第五篇。
於是這一階的計畫如今盡收眼底，而它從頭到尾都是同一個構想、只是從不同角度看。找出對單一點源的響應——基本解（第二篇）。修正它以服從邊界——格林函數（第三篇）。用反射巧妙地造出那個修正——鏡像法（第四篇）。再藉由在空間與時間裡疊加那些戳，把每一個答案組裝起來——表示公式與杜哈梅原理（第五篇）。一下尖銳的戳，徹底搞懂了，就解開了世上每一種驅動。