對偏微分方程「給資料」是什麼意思
到此為止你已擁有一台能運作的機器：特徵線法把一階偏微分方程化為沿曲線積分的常微分方程。但機器需要一個起點。對常微分方程而言，你交出的是幾個數字——初始條件——於是通解便落定為一個答案。偏微分方程要求的東西更豐富，而看清它究竟要什麼，正是這份指南的核心。
這裡是世界觀上關鍵的轉變，也就是我們在上一份指南結尾標記過的那一點。常微分方程的通解攜帶任意常數，所以幾個數字就能把它釘住。偏微分方程的通解攜帶任意函數——回想傳輸方程 u_t + c u_x = 0 的解是 u(x,t) = f(x - c t)，其中 f 可以是任何可微函數。整整一個函數份量的自由，無法用幾個數字固定；你必須供應整整一個函數份量的資料。
這就是柯西資料。你在 (x,y) 平面上選一條曲線——稱之為資料曲線——並沿著它指定未知函數 u 的值。在上一份指南的解曲面圖像中，這是一條畫好的、漂浮在空間裡的絲線：你已沿著一條曲線把曲面的高度全部塗滿，並要求偏微分方程穿過那條絲線把其餘的薄布編織出來。
為何恰好一條曲線就夠——以及為何錯的曲線會失敗
回想方法究竟是如何建構曲面的。穿過資料曲線的每一點，你放出一條特徵曲線，這群特徵線掃出整張解，就像一排梳齒把一片薄布拖曳出來。要讓這乾淨地運作，資料曲線必須橫切特徵線——它必須是一條順著紋理橫向鋪設的絲線，使每根梳齒各觸碰它一次，並把一個新的數值向外承載。
現在想像那場災難。假設你不小心把資料曲線選成了一條特徵線——順著紋理而非橫切它鋪設。有兩件事同時出錯，而且兩者都是致命的。第一，所有其他的特徵線都完全錯過你的曲線，於是平面上廣大的區域根本得不到任何資料；梳子從不曾梳過它們。曲面在那裡根本沒有被決定——問題是欠定的。
第二，你沿那條曲線指定的數值反正也不是自由的。一條特徵線承載著它自己的內在法則——對 u_t + c u_x = 0 而言，數值必須沿它保持為常數。如果你塗上的資料與那條法則相牴觸，就沒有解存在；如果它恰好相符，那麼就有無窮多個解與它吻合。要嘛無解、要嘛解氾濫成災：這正是不適定問題的教科書式特徵，與我們想要的適定問題恰恰相反。
把非特徵條件講精確
我們現在可以陳述這整份指南所命名的那條規則了。非特徵條件很簡單，就是：資料曲線必須與特徵線橫截——處處都不與任何一條相切。只要曲線在每一點都橫切紋理，方法就能從它身上放出一張乾淨的特徵線網絡，解便被決定，至少在曲線附近局部如此。一旦在任何地方與某條特徵線相切，決定性便在那一點處破裂。
有一個用行列式來檢查它的乾淨方法，值得看一次。取 a u_x + b u_y = c，以及一條參數化為 x = X(r)、y = Y(r) 的資料曲線。在每一點，把曲線自身的切向量 (X'(r), Y'(r)) 與特徵方向 (a, b) 相比較。它們平行——這就是壞情形——恰恰發生在下面的行列式為零之時。因此條件是：這個行列式沿整條曲線都不為零。
det | X'(r) a |
| Y'(r) b | = X'(r) b - Y'(r) a =/= 0
(curve tangent) vs (characteristic direction a,b)
zero -> curve is tangent to a characteristic -> ILLEGAL
nonzero -> curve crosses the grain -> good Cauchy data做一個小小的工作檢查。對傳輸方程 u_t + c u_x = 0 而言，(x,t) 平面上的特徵方向是 (dx, dt) = (c, 1)——也就是直線 x - c t = 常數。誠實、適定的資料曲線選擇是直線 t = 0，即初始剖面 u(x,0)：它的切向量純粹指向 x 方向，特徵線則斜向一側，兩者從不平行，所以行列式從不消失。相對地，斜率為 x = c t 的一條直線本身就是一條特徵線——在那裡指定資料，你就一頭撞進了上一節所述的失敗。
斜率從何而來——以及誠實的細則
理解為何橫截性恰恰就是那個條件，而不只是把它背下來，是值得的。沿著資料曲線你知道 u，所以你可以對它微分，得到 u 沿曲線方向的導數——切向斜率不費吹灰之力就有了。你缺的是橫越曲線的斜率，也就是法向導數。偏微分方程 a u_x + b u_y = c 是一條把 u_x 與 u_y 聯繫起來的線性方程。把它與切向斜率結合，你就有了兩條方程來解兩個未知數 u_x、u_y。
而非特徵條件在此以它的真面目再度現身：那個二乘二的線性系統，恰恰在它的行列式——正是上面那一個——不為零時，才能解出缺失的法向斜率。當曲線是非特徵的，方程便把資料未曾給出的那一個導數交到你手上，曲面於是能向外生長。當曲線是特徵的，兩條方程便塌縮為同一個方向；法向斜率被留作未定，曲面也就沒有任何東西能告訴它該朝哪邊彎。
退一步看：這是一條更宏大法則的一個面向
你剛剛看到的模式——好的資料必須避開特徵線——並不是一階方程的怪癖。它是一個著名結果背後的局部引擎，即柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理，該定理保證：恰恰當資料曲面是非特徵的（且眼前一切都是解析的）時候，在該曲面附近存在唯一的解析解。你算過的那個行列式檢驗，正是該定理橫截性假設的一階投影。
但要牢牢記住一個誠實的告誡。非特徵資料讓機器運轉；它本身並不能讓問題在「對資料連續依賴」這個完整意義下成為適定的。經典的警示是拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0：你可以在一條非特徵直線上指定完美光滑的柯西資料，卻仍然得到一個會在資料的微乎其微擾動下爆炸的解。存在性與唯一性並非適定性的全部——穩定性是第三條腿，而方程的類型主宰著它。
最後這條線索直接把我們帶出這個梯級。對一階與雙曲型問題而言，非特徵曲線上的柯西資料是提出問題最自然、最良好的方式；而對像拉普拉斯這樣的橢圓型方程而言，它卻是錯誤的資料種類，幾何想要的反而是一個邊界值問題。帶走一句話：資料是選定一個解的東西，但哪種資料是合法的，是由特徵線與方程的類型共同決定的。下一份指南要觀看的，正是當特徵線——即便來自合法的資料——最終相交時，會發生什麼事。