未知函數藏在哪裡才是關鍵
在上一篇導覽中，你認識了偏微分方程的階以及它的主部——那一群最高階導數項，承載著方程真正的性格。本篇就用同一個想法，把偏微分方程分到一道四階的階梯上：線性、半線性、擬線性與完全非線性。沿著階梯往上爬的那個問題其實很單純：未知函數 u 是怎麼潛進那些最高階導數裡的？
把方程想成一台機器：你餵進 u 及其導數，機器必須輸出零。在最低的一階，機器溫和地對待導數——它只用自變量的已知函數去乘它們，再相加。爬到更高階，機器開始讓 u 及其較低階導數伸手回來乘上較高階的導數；到了最頂階，連最高階導數本身都被平方、相除，或塞進一個正弦函數裡。每往上一步，你就失去一項結構性的保證。
底下兩階：線性與半線性
線性偏微分方程是最友善的情形。u 及其每個導數都只出現一次方，從不互相相乘，而且每個係數都只依賴自變量——絕不依賴 u。熱方程 u_t = k u_xx、波動方程 u_tt = c^2 u_xx，以及拉普拉斯方程 Laplacian u = 0，全都是線性的。正因為它們之中沒有任何東西讓 u 與自己對折，兩個解便可以相加：這就是疊加原理，是下一篇導覽的主題，也是整個線性世界中最強大的單一工具。
往上爬一階，你就到了半線性偏微分方程。這裡的主部——也就是最高階項——仍然是線性的，係數只依賴自變量。非線性被隔離到較低階的項裡。一個乾淨的例子是 u_t = u_xx + u^3：最高階項 u_xx 原封不動，但源項 u^3 卻是劇烈非線性的。半線性偏微分方程保留了線性方程那副規矩的「骨架」，卻容許較低階的「血肉」放肆，這往往足以破壞疊加原理，卻仍讓型別的分類保持不變。
擬線性：未知函數扭動主部
到了第三階，最高階導數的係數終於獲准依賴 u 及其較低階導數——但最高階導數本身仍以一次方線性地出現，絕不彼此相乘。這就是擬線性偏微分方程。它的決定性特徵是：u 可以乘上 u_xx，但 u_xx 絕不乘上 u_xx。方程在最高階導數上仍是「線性的」，只不過係數會隨著解的變動而變動。
換取這份彈性的代價既高昂又具體。看看布格斯方程 u_t + u u_x = 0，這個擬線性一階偏微分方程的原型：係數 u 乘上 u_x，於是某個 u 值傳播的速度竟取決於 u 自己。波形較高的部分跑得較快，追上前方較矮的部分，圖形不斷變陡，直到變成垂直。就在那一瞬間，經典的、可微的解乾脆不再存在——這就是震波形成，它甚至能從完美光滑、溫和的初始資料出發，在有限時間內發生。
完全非線性：階梯的頂端
在最頂階，最高階導數本身以非線性方式進入——被平方、彼此相乘、相除，或被埋進另一個函數裡。像程函方程（eikonal）(u_x)^2 + (u_y)^2 = 1，或蒙日–安培方程 u_xx u_yy - u_xy^2 = f 這樣的完全非線性偏微分方程，再也無法寫成「對最高階導數線性的部分乘以任何東西」的形式。這裡連型別——橢圓型對雙曲型——都可能隨著你逐點移動而切換，端看你正在看哪一個解。
linear a(x) u_xx + b(x) u_x + c(x) u = f(x) semilinear u_xx + g(x, u, u_x) = 0 quasilinear a(x, u, u_x) u_xx + b(x, u, u_x) = 0 nonlinear F(x, u, u_x, u_xx) = 0 (top deriv enters nonlinearly)
何必費心建立這樣的層級？因為它預測了哪些工具還能存活。疊加原理只活在線性那一階。對一階方程而言，幾何的特徵線法能向上伸及擬線性那一階。至於完全非線性的一階偏微分方程，我們需要哈密頓–雅可比的機制，而且在經典解之外，還需要黏性解的概念，才能說清楚「求解」究竟是什麼意思。爬得越高，你就越得用乾淨的公式去換那些得來不易的存在性定理。
線性、誠實，以及這道階梯沒有承諾的事
兩點誠實的提醒。其一，這些標籤分類的是寫下來的方程，而非關於它的每個問題的難度：一個完全線性的偏微分方程若落在險惡的區域上，也可能難得要命；而某些非線性方程反倒有著名的顯式解。其二，「線性」並不等於「容易」或「能寫出封閉形式的解」——線性只保證你可以把解相加、可以縮放，而這正是疊加原理兌現的東西。這份保證價值不菲，但它只是一份特定的禮物，並非「答案能用初等函數寫出來」的承諾。
還有一個關於齊次與非齊次方程的細膩之處，它與這道階梯相差一個軸。線性說的是 u 如何進入；齊次說的是 u = 0 是不是一個解，也就是右邊有沒有一個外力項 f。線性非齊次的偏微分方程仍享有一種較弱的疊加性質——任兩個解相差一個齊次版本的解——這正是下一篇導覽要拆解的結構。非線性方程則完全沒有這樣的記帳法。