從一個變數到好幾個
從常微分方程往上爬，你已經掌握了核心直覺：微分方程不會直接給你一個函數，它給你的是 函數的導數必須服從的規則，而你的任務是找出所有服從它的函數。跨向 偏微分方程 的這一步，就是讓未知量同時依賴不只一樣東西。不再是只隨時間變化的溫度 u(t)，想像 u(x, t)：一個溫度，它存在於金屬棒上每一點 x，也隨著時鐘 t 流逝而漂移。現在方程就能把 u 在空間中的變化與它在時間中的變化關聯起來——這正是 偏微分方程 所做的事。
有兩個角色需要命名。u 所依賴的東西——這裡是 x 與 t——是 自變數，是你能自由滑動的座標。u 本身這個量是因變數，是你要解的 未知函數。有了好幾個自變數，單一的導數就不夠用了；我們一次只對一個變數微分，固定住其餘的。那就是你在多變數微積分裡遇過的 偏導數，我們用簡潔的記法寫它：u_t 表時間導數，u_x 表 x 導數，u_xx 表對 x 微分兩次，u_xy 表先對 x 一次再對 y 一次。
讀出階數與主導部分
兩個簡單的數字就能告訴你一個偏微分方程大半的身份。第一個是它的 階數：方程中任何一處疊在未知量上的最高導數次數。熱方程 u_t = k u_xx 是二階，因為 u_xx 是兩次 x 導數，勝過單一的 u_t。傳輸方程 u_t + c u_x = 0 是一階。階數要緊，因為粗略地說它數的是你要供應多少資料才能釘住一個解——正如二階常微分方程需要兩個條件，一個對時間二階的偏微分方程會同時要一個初始位置和一個初始速度。
第二個更微妙也更有威力：主導部分，也就是把所有低階項丟掉後、那一束 最高階 的項。對 u_xx + u_yy + 3 u_x - u = 0 來說，主導部分就只是 u_xx + u_yy；就此目的而言，3 u_x 與 -u 都是低階的雜訊。為什麼只在乎最頂端的項？因為它們掌管著最深層的行為——資訊傳播得多快、解是否保持平滑、允許什麼樣的資料。主導部分 正是那個在下一階被蒸餾成判別式 B^2 - A C、並把每個二階方程歸入三大家族之一的部分。
線性的階梯
一個偏微分方程如何依賴未知量及其導數，把整門學科切成一道難度的階梯。在友善的底層坐著 線性偏微分方程：u 與它所有的導數都只以一次方出現，彼此從不相乘，而它們的係數至多只依賴自變數。u_t = k u_xx 是線性的；u_xx + u_yy = 0 也是。線性正是讓這一階所有事情成為可能的性質，因為——如第四篇將要禮讚的——線性方程允許你把解加在一起。
往上爬一步，非線性悄悄滲入，但很有禮貌。半線性偏微分方程 保持主導部分為線性，只讓低階項變成非線性，像 u_t - u_xx = u^2。擬線性偏微分方程 讓未知量進入 最高 階導數的係數裡，但那些導數仍只以一次方出現，像 u_t + u u_x = 0——無黏性的伯格斯方程，解在這裡自訂自己的速度。在最狂野的頂端，完全非線性偏微分方程 讓最高階導數以非線性方式進入，如 u_x^2 + u_y^2 = 1。每往上一階，都讓你失去工具、換來困難。
驅動、平衡，與把解相加
在線性的世界裡，還有一個值得及早命名的劃分。一個線性偏微分方程是 齊次 的，當每一項都含有未知量，於是全零函數 u = 0 自動是個解；它是 非齊次 的，當有一個多出來、完全不含 u 的項。那個多出來的項就是 源項——一台把暖意打進棒子的加熱器、一股搖動弦的力、一個驅動電位的電荷密度。這個分別正是你在常微分方程已經遇過的 齊次對非齊次，運作方式相同：源項使方程描述的是一個被 驅動 的系統，而非被放著不管的系統。
齊次與線性合在一起，解鎖了這整階最重要的一件工具：疊加原理。若 u 與 v 都解一個齊次線性偏微分方程，則任何組合 a u + b v 也解它——方程根本分辨不出差別。這就是為什麼你能把複雜的溫度分佈用簡單的疊加出來、為什麼振動的弦是純音之和、為什麼傅立葉級數能解這麼多問題。後面幾階裡塞滿的分離變數法、本徵函數展開與傅立葉方法的整套機器，都建立在 疊加原理 之上——而那也正是非線性方程拒絕給予的東西。
有一個誠實的微妙之處要帶著往前走。偏微分方程的通解牽涉的是任意 函數，而不只是你在常微分方程裡習慣的任意常數。舉例來說，小小的方程 u_t + c u_x = 0 的解是 u(x, t) = f(x - c t)，對 任何 可微的 f 都成立——整整一個函數份量的自由。所以偏微分方程的 通解 描述的是一個龐大的族，而最終釘住你想要的那一個解的，是資料：初始條件與邊界條件。判定哪些資料使問題 適定——哪些又讓它 不適定——本身由方程的類型掌管，那正是緊接著下一階的主題。
三條方程，繪出整片領域
你不必一次面對偏微分方程那座無窮的動物園。幾乎整門學科都繞著三條模型方程組織起來，每一條都純粹地代表一種基本的行為。把它們想成 路線圖 上的三個地標：掌握了這些，你就握有理解其餘一切的羅盤，因為一個新方程通常會表現得像它最相像的那一條。
HEAT (parabolic): u_t = k u_xx smooths; infinite speed; one-way in time WAVE (hyperbolic): u_tt = c^2 u_xx no smoothing; finite speed c; reversible LAPLACE (elliptic): u_xx + u_yy = 0 no time; equilibrium; perfectly smooth
每一條都訴說不同的故事，而這些對比是誠實的，不是口號。熱方程 u_t = k u_xx 描述擴散與蔓延：它瞬間把資料中任何的粗糙都抹平，但它是以 無限 的傳播速度做到的（一個數學上的理想化——一點上的尖峰會同時輕推各處的溫度），而且它在時間上只朝一個方向走，所以逆向熱方程是不適定的。波動方程 u_tt = c^2 u_xx 描述振動與訊號：它 不 平滑——初始形狀裡的一個尖角會原封不動地行進——而且它以有限速度 c 攜帶資訊，俐落地透過 u(x, t) = f(x - c t) + g(x + c t)，一個右行者加上一個左行者。
第三條，拉普拉斯方程 Laplacian u = 0（在二維中即 u_xx + u_yy = 0），完全沒有時間變數：它描述一個處於完美平衡的系統——一個穩態溫度、一個靜電位、一張被拉緊的肥皂膜。它的解平滑得不可思議，而正確的資料是邊界上的值，不是初始條件。試圖為拉普拉斯方程指定柯西資料（曲線上的值與法向導數）是出了名地不適定。這三者——擴散、傳播、平衡——就是拋物型、雙曲型與橢圓型的原型，而把任何方程歸入它的類型，正是下一階的起點。