把問題翻轉：從求解到極小化
本層樓裡的一切都有同樣的形狀：有人交給你一條像橢圓型方程 -Laplacian u = f 這樣的方程式，要你找出滿足它的函數 u。變分法把問題翻轉過來。它不問哪個函數讓這條方程成立，而問哪個函數讓某個數字盡可能地小。那個數字就是一種能量：你餵進一個候選函數，吐出來一個實數，衡量這個候選有多『昂貴』。贏家——最便宜的那個函數——結果竟解出了偏微分方程，這不是巧合，而是一套我們即將看見的精確機制。
模型能量就是狄利克雷能量 E[u] = (1/2) integral |grad u|^2 - integral f u，對所有符合指定邊界資料的函數 u 取值。把第一項讀成一項粗糙度的罰則：哪裡 u 陡，|grad u|^2 就大，所以這一項懲罰起伏、獎勵光滑。第二項則是對齊源項 f 的獎勵。E 的極小者，就是在『盡量平坦』與『傾向 f 所要之處』之間取得平衡的那個函數——這正是方程 -Laplacian u = f 所描述的那場拉鋸。這就是狄利克雷原理背後精確的意涵：解卜瓦松方程與極小化狄利克雷能量，是同一個問題穿著兩套戲服。
歐拉-拉格朗日方程：斜率為零之處
普通微積分怎麼找極小值？把導數設為零。變分法做的正是這件事，只不過是在函數的空間上、而非數字的空間上。在極小者 u 處，用一個微小的測試凸起去推它：把 u 換成 u + e*v，其中 v 是一個在邊界上為零的光滑函數（好讓邊界資料維持不變），而 e 是個小數。如今 E[u + e*v] 不過是單一數字 e 的一個普通函數，而若 u 是極小值，它就必須在 e = 0 處觸底。於是 E[u + e*v] 對 e 的普通導數 d/de，在 e = 0 處求值時必須為零——而且對每一個容許的凸起 v 都如此。
對狄利克雷能量算出那個導數，你會得到 integral (grad u . grad v) - integral f v = 0 對所有 v 成立。把第一項分部積分（邊界項消失，因為 v 在那裡為零），它就變成 integral (-Laplacian u - f) v = 0 對所有 v 成立。神奇的一步來了。若一個固定的函數，乘上每一個測試函數 v 後積分總是為零，那這個函數本身就必須處處為零——它無處可藏。於是 -Laplacian u - f = 0，也就是 -Laplacian u = f。極小者滿足了那條偏微分方程。這條被找回來的方程，就是該能量的歐拉-拉格朗日方程。
二階導數分辨極小與鞍點
有一件事要誠實面對：把第一變分設為零，只說明了 u 是一個臨界點，也就是函數空間裡『平坦處』的對應物。在普通微積分裡，平坦處可能是極小、極大，或鞍點。同樣的告誡在這裡也成立，而且很重要：許多著名的偏微分方程，是某些根本沒有極小值的能量的歐拉-拉格朗日方程——極小曲面與調和映射就住在鞍點上，要靠極大-極小的博弈、而非靠下降到某個地板才找得到。所以能量的臨界點只是一個解的候選，你還欠一個論證，說明你想要的那個確實存在。
讓狄利克雷能量如此乖巧的，是 |grad u|^2 是一個碗：作為 u 的函數，它在每個方向上都向上彎曲，所以它有一個真正的底，而非鞍點。技術上說，第二變分是 integral |grad v|^2，它從不為負——這個能量是凸的。凸性就是『這是山谷、不是山口』在函數空間裡的版本，而它正是保證臨界點真的就是極小值的那個結構。這個凸性，就是你在第 1 篇見過的強制性這同一件事：當 ||u|| 增大，能量無界地增長，所以它的圖形真的向上凹、困住一個最低點。
直接法：捕捉一個確實存在的極小者
現在來到真正困難的問題。我們知道，若極小者存在，它就解出那條偏微分方程。但極小者存在嗎？天真地想應該存在：能量有下界，所以有個下確界，那就拿一串能量步步逼近這個下確界的函數，抓住它們的極限就好。這聽起來滴水不漏，卻幾乎讓這門學科送了命——歷史上的醜聞是，狄利克雷原理被使用了數十年，才有人注意到那個極限可能根本不存在，因為一串函數可以一邊朝著底部蠕動、一邊拒絕收斂到任何真正的函數。魏爾斯特拉斯找出了明確的反例。那個天真的論證有個真實的破洞。
補救之道是變分法的直接法，它正是前面整層樓的變分回報。訣竅是不再要求普通收斂，而改為接受索伯列夫空間裡的弱收斂。一串能量有界的極小化序列在那個空間裡是有界的，而索伯列夫空間裡的有界集是弱列緊的——所以某個子序列確實弱收斂到某個極限 u。弱收斂夠鬆，鬆到極限保證存在；然而能量在它之下是下半連續的（那個凸的 |grad u|^2 項在取極限時不會往上跳，至多往下掉），這恰好足以逼出 E[u] 等於下確界。那個極限就是極小者。存在性，得救了。
- 寫出能量 E[u]，確認它有下界且具強制性（隨 ||u|| 增大而增長），於是存在一個有限的下確界，且極小化序列不會跑向無窮。
- 取一串極小化序列 u_n，使 E[u_n] 遞減趨向下確界；強制性使它在索伯列夫空間中有界。
- 抽出一個弱收斂的子序列 u_n -> u（有界集是弱列緊的）——這正是天真論證所缺的那一步。
- 用弱下半連續性（來自凸性）推得 E[u] <= liminf E[u_n] = 下確界，於是 u 達到極小，並由歐拉-拉格朗日方程，作為弱解解出那條偏微分方程。
從弱極小者到古典解——以及特徵值的回聲
直接法交給你一個住在索伯列夫空間裡的贏家 u——一個弱解，還不是光滑的古典解。但升級的工具你早已擁有。第 3 篇的橢圓正則性理論說，一個性質良好的橢圓型方程、配上光滑資料的弱解，會自動光滑，而你能一階一階地自助拔升，直到它如你所願地古典為止。於是完整的橢圓型故事，如今讀來就是一條乾淨的裝配線：極小化能量（本篇）得到存在性，再正則化（第 3 篇）得到光滑性。變分提供解，正則性把它打磨光亮。
變分也解釋了第 4 篇的特徵值。主特徵值不是憑空變出來的——它是某個商的極小值。極小化瑞利商 R[u] = integral |grad u|^2 / integral u^2，其極小值就是第一特徵值 lambda_1，而極小者就是第一特徵函數；那個商的歐拉-拉格朗日方程恰好就是 -Laplacian u = lambda u。更高的特徵值來自同一想法配上極大-極小的反覆運用，這正是你在第 4 篇遇見的極大-極小刻畫。所以特徵值也是變分的——它們每一個都是某個帶約束的能量的底部。
有兩個誠實的邊緣，要帶著它們繼續往上爬。第一，直接法那個光滑的結局，依賴的是凸性：能量是一個碗。把它拿掉——極小曲面、調和映射、符號錯了的方程——極小者就可能不存在、可能不唯一，或可能形成奇異點，這時你真的需要更難的極大-極小與山路引理機制，去找那些鞍點型的臨界點。第二，整套對應之所以成立，是因為那個算子是某個能量的歐拉-拉格朗日方程；並非每條偏微分方程都是。這個優美方法誠實的適用範圍是：那些是某能量梯度的方程，最好還是凸的——一個龐大而核心的類別，但不是全部。