橢圓算子的特徵值

從求解，到聆聽

這一階的前三篇教你求解：給定一個外力 f，Lax-Milgram 定理交給你橢圓問題的唯一弱解，而正則性再把那個解磨回成古典解。本篇要問一個不同的、更具音樂性的問題。先把外力忘掉一會兒。橢圓算子 L 自己有沒有 偏愛的形狀——一些它只是拉伸、而不混攪的函數？我們不再是去推那面鼓、看它如何回應；我們是輕敲它一下，聆聽它自行鳴響的那些音。

精確的對象是狄利克雷特徵值問題：找一個數 lambda 與一個非零、在邊界上消失的函數 u，使得 L u = lambda u。對最乾淨的情形 L = -Laplacian、一面被夾住的薄膜而言，這寫成 -Laplacian u = lambda u 並在邊緣上 u = 0。一組解就是一個 特徵值 lambda 與它的 特徵函數 u——一道算子只把它放大 lambda 倍、卻不使其變形的駐波。這些特徵函數是薄膜純粹的振動模態；特徵值則是它們頻率的平方，是你真正會聽到的那些音高。本篇全部的遊戲，就是證明這些音存在、它們有無窮多個，並找出它們的一條公式。

最低的音：瑞利商

我們究竟要從哪裡著手，才能在不解方程的情況下找到 lambda？第一篇的能量方法早已把工具交到我們手上。回想那個對稱的雙線性形式 a(u, u)——對 L = -Laplacian 而言，它正是 |grad u|^2 的積分，是儲存在變形薄膜中的 拉伸能量。把它與 u^2 的積分、也就是形狀的質量相比。它們的比值就是瑞利商：R(u) = a(u, u) / (integral of u^2) = (能量) / (質量)。它量的是把薄膜彎成形狀 u 時，每單位材料所要付出的代價。一個繃緊、波動的形狀有大的 R；一個放鬆、和緩鼓起的則有小的 R。

         a(u, u)        integral of |grad u|^2        bending energy
R(u) = ----------- = ------------------------- =  ----------------
       (u, u)_L2        integral of u^2                  mass

  lambda_1  =  min over all u in H^1_0 , u not 0  of  R(u)

  The minimiser u_1 is the principal eigenfunction;  L u_1 = lambda_1 u_1 .

瑞利商作為「每單位質量的能量」，以及驅動全篇的變分事實：最低的特徵值，不過就是這個比值所能取到的最小值。

這裡有一個美麗的主張。最小的特徵值，也就是主特徵值 lambda_1，恰恰是 R(u) 在所有容許形狀 u（落在 H^1_0 中）上的 極小值。鼓最低、最深沉的那個音，就是最便宜的那個形狀：每單位質量儲存最少彎曲能量的那一個。你不必去解特徵值方程來得到 lambda_1；你 極小化一個能量比值，而這正是下一篇的變分法所要對付的那類問題。極小化者 u_1 是基本模態——對一面圓形鼓而言，就是那個沒有內部節線、寬闊而對稱的鼓起。

為什麼這個極小值真的被取到，而不是只被逼近卻永不抵達？正因為這一階所組裝起來的那套機械。龐加萊不等式保證 R(u) 被一個正數從下方界住，於是彎曲能量無法被弄得任意便宜——存在一道真正的地板。而封裝在索伯列夫嵌入中的緊性，讓一列極小化數列收斂到 H^1_0 裡一個真正的極小化者，而不會逃逸到一個更粗糙的極限去。下一篇所要形式化的那些直接法配料，正是讓 lambda_1 成為一個真正被取到的值、讓 u_1 成為一個真正的函數的東西。

逐音攀登整個譜

一個音不成和弦。我們要怎麼搆到第二個特徵值 lambda_2，也就是第一個泛音？想法簡單得令人卸下心防：極小化 同一個 瑞利商，但只在那些與基本模態 u_1 正交的形狀上進行——也就是與 u_1 的 L^2 內積為零的形狀。我們禁掉了最便宜的形狀，於是剩下最便宜的那個代價更高，而那個代價就是 lambda_2，其極小化者為 u_2。重複：要得 lambda_3，就在那些與 u_1 及 u_2 都正交的形狀上極小化。每一道新的約束鎖住已經找到的模態，把搜尋逼上下一個可用的音。

在整個 H^1_0 上極小化 R(u)；極小值是 lambda_1，極小化者是 u_1，那個沒有內部節點的最深沉的音。
再次極小化 R(u)，但只在那些與 u_1 正交的形狀上；這個剩下最便宜的形狀給出 lambda_2 與 u_2。
在每一階 k，於那些與已找到的 u_1, ..., u_(k-1) 全部正交的形狀上極小化 R(u)；這給出 lambda_k 與 u_k。
這些特徵值堆疊成 0 < lambda_1 <= lambda_2 <= lambda_3 <= ... 一路行軍到無窮，而特徵函數構成 L^2 的一組完備正交基。

把這套程序永遠跑下去，你就生成一個遞增的數列 0 < lambda_1 <= lambda_2 <= lambda_3 <= ...，一路行軍奔向無窮，從不在某個有限的天花板處擠成一團。前兩者之間的間隙 lambda_2 - lambda_1 就是譜隙，它並非閒置的帳目：它決定了區域上一個熱分佈多快鬆弛到它的基本模態，因為更高的模態恰恰按它們的特徵值衰減得更快。大的譜隙意味著鼓很快忘掉它初始的細節、幾乎純粹地以最低音鳴響；小的譜隙則意味著泛音久久不散。

極小極大：一條無須特徵函數的公式

正交化的食譜有個依賴上的缺陷：要搆到 lambda_k，你必須先知道 u_1, ..., u_(k-1)。如果你只想要、比方說 lambda_5 以及它的一個乾淨上界，這就很彆扭。療方是譜論中最優雅的結果之一，極小極大刻畫，又稱 Courant-Fischer 原理。它在計算 lambda_k 時，完全不 提及任何特徵函數。你不去挑出先前的模態，而是遍歷試驗函數的 每一個 k 維子空間 S，在每一個之中找出最壞（最大）的瑞利商。然後在所有 S 的選擇中，取那些最壞情形裡最好的一個。

  lambda_k  =   min          max        R(u)
             dim S = k     u in S, u not 0

  S ranges over every k-dimensional subspace of trial functions.
  Inside each S take the WORST (largest) Rayleigh quotient;
  then take the BEST (smallest) such worst-case over all S.

第 k 個特徵值的 Courant-Fischer 極小極大公式。它從不指名任何特徵函數，而這正是它之所以成為界定特徵值的實用工具的原因。

這個雙重極值看來抽象，那就感受一下它的回報。因為 lambda_k 是在子空間上取極小，所以任何一個你隨手寫下的特定 k 維空間 S，都給出一個老實的上界：lambda_k 不會大於你那個 S 裡最壞的瑞利商。於是只要對幾個試驗函數聰明地猜一次，就能立刻從上方界住一個特徵值，無須解任何方程——這正是瑞利-里茲方法與有限元特徵值程式背後的引擎。同樣地，這條公式讓單調性變得透明：縮小區域或加硬算子，每一個 lambda_k 都只能上升，因為每個子空間的最壞情形都上升了。這就是為什麼一面更小的鼓聽起來更高——極小極大的一行推論。

為什麼這些音根本存在，以及這一階接下來指向何方

退一步，留意這裡沒有半點僥倖——一切都倚靠著這一階稍早證明的 L 的性質。特徵值為實、特徵函數正交，是因為 L 對稱、坐在自伴形式中；一個非對稱算子可以有複特徵值，乾淨的極小極大也隨之破裂。譜是離散的——分離的點一路奔向無窮，而非連續的塗抹——是因為 L 的逆是一個緊算子，這要歸功於當初給出存在性的同一個索伯列夫緊性。而第二篇的 Fredholm 二擇一，恰恰就是這樣的陳述：L - lambda 可逆，除了在這些特徵值處，那裡齊次問題突然容許一個非零解。譜正是二擇一所警告你的那組外力。

最後留意本篇悄悄做成的事：它完全靠 極小化一個能量 解出了一個偏微分方程的特徵值問題，從未直接去微分那個算子。這就是線索。主特徵值就是一個瑞利商的極小值；特徵函數就是那個極小化者；特徵值方程 L u = lambda u 不過是這個極小化者必須滿足的條件。最後這個事實有個名字、也有個歸宿——它是那個能量的歐拉-拉格朗日方程，而直接法正是證明極小值被取到的東西。第五篇把這一條精確的對應接過來，使它成為整個主題：你所遇過的每一條橢圓偏微分方程，都是某個你能去極小化、而非去求解的能量的歐拉-拉格朗日方程。