為什麼舊探針擋住了傅立葉轉換
到現在分布已經感覺很扎實了：一個粗糙的對象，就是它對著平滑探針求平均時所做的事，而你想求幾次導都行，只要把導數交給探針。我們還想再要一項本領——傅立葉轉換，那把能把 u_xx 變成乾淨乘法、因而一舉解開熱方程、波動方程與拉普拉斯方程的工具。最自然的計畫是重演這整階的反射動作：把傅立葉轉換甩到試驗函數身上，藉此定義一個分布的傅立葉轉換。這計畫是對的。但我們在第二篇造的那些探針，悄悄地把它破壞了。
問題就在這裡，值得精確地體會一番。第二篇裡的試驗函數是個隆起：平滑，且在一個有限窗口之外精確為零。那份緊支撐對求導是大禮，因為分部積分裡的邊界項，落在探針平坦為零之處。但一個緊支撐隆起的傅立葉轉換，再也不會是緊支撐了——把一個函數擠進一個極小的窗口，它的轉換就在整個頻率空間裡抹開、永不回到零。所以若我們把轉換甩到一個隆起身上，結果就離開了隆起的空間。轉換不肯留在家裡，而一個逃出自己房間的定義，根本不算定義。
更寬敞的探針：Schwartz 空間
替補的探針是一個 Schwartz 函數，它們構成的空間就是 Schwartz 空間，記作 S。一個 Schwartz 函數 phi 仍然無窮平滑，但不再在窗口外完全關掉，而是容許它鋪展到處都是——條件是當你走向無窮遠時，它衰減得比 x 的任何冪次都快，而且它的每一個導數也都如此。口號是「急速遞減」：不只 phi(x)，連 x^2 phi(x)、x^100 phi'(x)，任何冪次乘任何導數，全都仍趨近於零。模範公民是高斯函數 phi(x) = e^(-x^2)，處處平滑，兩側都以指數速度被壓成烏有。
為什麼這是對的房間？因為 Schwartz 空間在傅立葉轉換下封閉：餵給它一個 Schwartz 函數，你拿回另一個 Schwartz 函數，完全不漏。原因是轉換擁有一個美妙的對稱——一邊的平滑變成另一邊的快速衰減，快速衰減又變成平滑——所以一個既平滑又快速衰減的函數，被映成一個同樣兩者兼具的函數。高斯函數把這點展現得淋漓盡致：e^(-x^2) 的傅立葉轉換，差個常數，就是另一個高斯函數。探針恰好落回它出發之處。如今這一階的反射動作能運轉了，因為把轉換甩到一個 Schwartz 探針身上，我們仍留在 S 之內。
一個被允許作用在這些更寬敞探針上的分布，叫做 緩增分布。「緩增」意思是「在無窮處被馴服」：因為一個 Schwartz 探針只是快速衰減、而非乾脆消失，被它檢驗的對象就不能在遠處成長得太兇猛，否則那個配對積分會炸開。所以緩增分布是個比第二篇那些狂野分布稍小的俱樂部——每個緩增分布都是分布，但並非每個分布都緩增。快速衰減探針的代價，是對它們能探測之物的一個溫和成長界限；而回報，我們即將看到，正是傅立葉轉換。
把轉換轉嫁到探針身上
現在來下定義，它完全照搬你在第三篇對導數用過的模式。對一個普通、衰減良好的函數 f，有一條老恆等式——交換兩重積分次序的結果——說：(f 的傅立葉轉換) 乘 phi 的積分，等於 f 乘 (phi 的傅立葉轉換) 的積分。用探針配對的記法寫成 < F f, phi > = < f, F phi >。左邊直接索取 f 的轉換；右邊則從頭到尾不碰 f 的轉換——它把整個轉換推到探針 phi 身上，而 phi 既是 Schwartz 的，就承受得起、且仍留在 Schwartz 之內。
於是我們把那條恆等式從一個關於函數的定理，升格為對分布的一個定義。緩增分布 T 的 傅立葉轉換，是那個新的緩增分布 F T，它對任意 Schwartz 探針的作用被規定為 < F T, phi > = < T, F phi >。慢慢讀：要弄清楚 T 的轉換對一支探針做了什麼，你不去轉換 T——你轉換那支探針，再拿原本的 T 去和它配對。整個運算在一個完全安全的地方進行，在那平滑快速衰減的 phi 之上，而 T 本身從不被要求去做它做不到的事。這還是一貫的那份自我克制：你無法伸手進入 T 內部，所以你作用在探針上，讓恆等式把運算搬過去。
如今轉換能咬住什麼
看這定義在啟動了整階的那個對象上如何兌現。狄拉克 δ 的傅立葉轉換是什麼？依規則，< F delta, phi > = < delta, F phi >，而 delta 不過讀出它引數在原點的值，所以這等於 (F phi)(0)。但 phi 的傅立葉轉換在頻率零處取值，不過就是 phi 在整個 x 上的積分——也就是常數函數 1 對 phi 的配對。所以對每一支探針 < F delta, phi > = < 1, phi >，這意味著 F delta = 1。原點一根無限尖峰的轉換，是平坦的常數 1：一個在位置上完美局部化的東西，變成在頻率上完美鋪展，恰如測不準口號所預言。
反過來跑也同樣說明問題。常數函數 1 的轉換是 δ（差個 2-pi 的約定）——一個平坦、永不衰減的常數，古典轉換因為它的積分發散而根本碰不得，如今變成頻率零處一根乾淨的尖峰。而 海維賽階梯 H，那個從 0 跳到 1 的階躍，也有一個緩增轉換，由零處一個 δ 加上 1/(i 乘頻率) 的一個 主值 構成——那是對奇異的 1/x 所做的審慎「對稱極限」解讀，分布把它弄得嚴謹。這些——一個常數、一個階梯——沒有一個有古典傅立葉轉換，可如今三者全都安然坐在理論之內。
definition : < F T, phi > = < T, F phi > (move F onto the Schwartz probe) F[ delta ] = 1 (spike at 0 -> flat constant) F[ 1 ] = 2*pi * delta (flat constant -> spike at 0) F[ H(x) ] = pi*delta(k) + p.v. 1/(i k) (step -> delta + principal value) derivative rule : F[ u' ] = (i k) * F[ u ] (d/dx becomes multiply by i k) convolution rule : F[ f * g ] = F[ f ] * F[ g ] (convolution becomes product)
最後幾行那兩條規則，正是我們大費周章的緣由。微分規則說：轉換把 d/dx 變成乘以 i 乘頻率，而它如今對任意緩增分布都成立，不需要任何平滑性。這就是把偏微分方程壓平的魔法：u_t = k u_xx 在對 x 轉換後，對每個頻率變成一個關於 t 的常微分方程，因為 u_xx 變成負頻率平方乘以那個轉換。而卷積規則把一個卷積那團亂糟糟的積分，變成轉換的一個樸素乘積——這正是在第五篇裡，對一個基本解施加算子將如何變成乘以它的符號、再除回去的緣由。
誠實的界限，以及通往基本解的橋
把第二篇的那些但書牢牢放在眼前，因為轉到傅立葉這一側並不會解除它們。你仍然無法自由地把兩個分布相乘，而轉換把這點弄得鮮明：依卷積規則，一側的相乘是另一側的卷積，所以兩個轉換的一個非法乘積，會對應到一個可能不收斂的卷積——乘積問題換上新裝又現身了。而「緩增」是一個真正的限制：一個像 e^(x^2) 那樣成長的函數，是個完全合格的分布，卻不是緩增的，因為它壓垮了連 Schwartz 探針的快速衰減，所以它沒有緩增傅立葉轉換。傅立葉世界很強大，但它不是整個世界；你以一個成長界限來換取這把轉換。
退一步看，一個反射動作把我們帶了多遠。我們拿緊支撐的隆起去換 Schwartz 空間那些快速衰減的探針，把騎乘其上的對象命名為緩增分布，再用單單一行 < F T, phi > = < T, F phi > 定義了其中任何一個的傅立葉轉換。作為回報，轉換終於咬住了 δ、常數與階梯，並帶著那兩條規則——導數變乘法、卷積變乘積——把一條常係數偏微分方程壓平成代數。這一階兌現所需的每一塊拼圖，如今都已擺上桌面。
本階最後一篇把這一切兌現。要造一個 基本解——算子 L 對一個單位點源的響應 E，也就是 L E = delta 的精確意思——你如今對兩邊都做轉換：F delta 是常數 1，算子 L 變成乘以它的符號，而求解便塌縮為「拿 1 除以那個符號、再轉換回去」。普通函數盛不下的那根無限尖峰、古典微積分無法把它微分出來的那個響應、古典上連看都不能看它一眼的那把轉換——這一階的這三項修補，全在那一道計算裡相遇。第五篇會把它弄嚴謹。