狄拉克 δ 與分布導數

在 δ 自己的條件下認識它

上一篇指南用一行字介紹了狄拉克 δ——< delta, phi > = phi(0)——然後就走過去了。讓我們停下來，真正住進那條規則裡，因為這一階幾乎一切都繞著它轉。不管它被畫成又高又瘦的尖峰多少次，δ 都不是那樣的尖峰。它是一台測量儀器：遞給它任意平滑探針 phi，它就回報恰好一個數，也就是那支探針在原點的高度。它無視別處的 phi；它無視 phi 的斜率、寬度與面積。它永遠只說一句：「你的探針在 0 處有這麼高。」

為什麼非要堅持它背後沒有函數？假設某個老實的函數 g 對每支探針都有 < g, phi > = integral of g(x) phi(x) dx 等於 phi(0)。那就取一些在原點為零、卻在附近某處鼓起的探針；g 必須無視那整團鼓起而回答 0，這逼得 g 在遠離原點處只能是零。但一個除單一點外處處為零的函數，對任何東西積分都是零。無路可逃：δ 確確實實是一個分布，是上一篇指南所建那個更大世界裡的生物，而不是喬裝的函數。尖峰那張圖是有用的拐杖，但規則才是真相。

唯一合法的一招：把導數丟到探針上

現在來到核心。我們想對一些沒有老實導數的對象求導——尖角、跳躍、乃至 δ 本身。分布沒有「內部」可以伸手進去，所以我們只能靠上一篇指南反覆操練的那個反射：不論我們想對 T 做什麼，都改成對探針 phi 做，讓定義把它搬過去。對導數而言，這座橋就是分部積分。對一個老實可微的函數 f，把 f'(x) phi(x) 積分，並把那一撇搬到 phi 上：phi 的緊支撐消掉了邊界項，留下 < f', phi > = - < f, phi' >。如今兩邊都只是作用在探針上的規則。

那個對任意平滑 f 都成立的恆等式，正是我們要把它提升為定義的東西。任意分布 T 的分布導數 T' 是由 < T', phi > = - < T, phi' > 定義的規則。慢慢讀：要對 T 求導，你完全不碰 T——你對探針求導，套用舊規則，再翻個正負號。因為 phi 是一個試驗函數，它無窮平滑，所以 phi' 永遠取得到；那個負號是唯一的費用。這一條公式給了每個分布一階導數，於是二階、於是每一階的導數，永遠地，沒有任何尖角或跳躍能攔得住它。開啟這整階的那個瓶頸，消失了。

人人必看的範例：階梯微分成 δ

讓我們把這台機器開在最乾淨不過的一個跳躍上。海維賽德階梯 H(x) 在 x < 0 時為 0、在 x > 0 時為 1——一個在原點啪地開啟的開關。古典上它在 0 處沒有導數；那裡的斜率沒有定義，正是先前把我們難倒的那種情況。然而作為分布，H 完全沒問題（它局部可積），所以它有分布導數，而定義會精確告訴我們它是什麼。我們只要計算 < H', phi > = - < H, phi' >，看看跑出來的是什麼規則。

Heaviside H(x) = 0 for x<0,  1 for x>0

< H', phi >  =  - < H, phi' >                     (definition)
             =  - integral over all x of H(x) phi'(x) dx
             =  - integral from 0 to infinity of phi'(x) dx   (H = 1 there, 0 elsewhere)
             =  - [ phi(infinity) - phi(0) ]
             =  - [    0       - phi(0) ]              (phi has compact support)
             =  phi(0)
             =  < delta, phi >

Conclusion:   H' = delta

把階梯分布一行行老實地微分，最後恰好落在狄拉克 δ 上。

盯著這個結果看：H' = delta。一個從 0 翻到 1 的開關，其導數是一個恰好坐在跳躍所在處的 δ，而它的「權重」正好是跳躍的大小。這就是到處都帶得走的那條經驗法則——對一個高度為 a 的跳躍求導，會在跳躍處生出 a 倍的 δ。 它不再是一個啟發式或物理學家的速記；我們僅用分部積分與緊支撐，就從定義把它證了出來。那個曾激發第一篇指南的「尖角與跳躍」災難，被轉化成了一個乾淨、可計算的事實。

兩個延伸把這幅圖加深。第一，再微分一次：delta' 也是一個合法的分布，< delta', phi > = - phi'(0)——它讀出的是探針在原點的斜率，而不是高度。所以連 δ 都有一整座導數之塔。第二，一個能省下真實麻煩的警告：若一個函數有尖角（一道折痕，像 |x| 那樣，斜率跳躍但值不跳躍），它的一階分布導數是一個普通的有界函數（一個階梯），要到二階導數才生出 δ。把求導的階數對準奇異性的階數——值的跳躍，會比斜率的跳躍早一階導數現身。

如何一步步對分布求導

海維賽德的計算是一個範本，而你這輩子幾乎每一次的分布求導，都依循同樣的五個節拍。這項技能不靠機巧，靠的是紀律——絕不伸手進入 T，永遠作用在 phi 上，並老實地交代邊界項（它們之所以消失，正因為 phi 是緊支撐的）。

把目標寫成探針上的規則：把 < T, phi > 釘成一個具體的積分（若 T 本來就是 δ 型對象，則釘成一個求值）。
套用定義：把 < T', phi > 換成 - < T, phi' >，將導數從 T 卸下，搬到平滑的探針上。
在 T 是函數之處做分部積分，並在每個跳躍或尖角處把積分切開，使每一塊都是平滑的。
丟掉無窮遠處的邊界項——phi 緊支撐，所以 phi 與它所有導數在那裡都是零——並把跳躍處剩下的邊界項收攏起來。
把答案讀成一條新規則：把得到的泛函辨認成一個已知的分布（一個普通函數，外加若干以跳躍為權重的 δ）。

把這套跑在鋸齒波、三角波，或任何分段平滑的訊號上，輸出的形狀永遠相同：在函數平滑處是古典導數，外加在每個跳躍處、以該跳躍高度為比例的一個 δ。那個分解——一個溫馴的函數部分，加上一串釘在不連續處的尖峰——就是分布導數日常的面貌，也正是它讓偏微分方程的分布解能承載一道震波或一條陡峭的鋒面，而無需任何人去微分那不可能微分的東西。

這把我們帶到哪：核、源，以及誠實的小字

這一階之所以對 δ 如此費心，是因為它是點源的天然語言。當我們要描述某一點、某一瞬間的一記猛擊——琴弦上的一下槌敲、在單一點注入的一份熱——源項就是一個 δ，而回應它的解就是一個基本解。舉例來說，熱核正是你從原點一份 δ 的熱出發時所演化出的溫度：它是熱方程對點源的回應，輸入是分布，輸出是平滑函數。那個「對 δ 的回應」的框架，正是本階第五篇指南的全部主題，並在那裡被嚴格化。

留意這裡藏著的一個美麗的不對稱，因為那是誠實的物理。給熱方程餵一個 δ，一瞬之後你得到一條完美平滑的鐘形曲線：擴散瞬間抹平、以無限速度傳播，所以最糟糕的初始資料一下子就變得無窮可微。波動方程做的事相反——它不抹平、以有限速度傳播，所以一個投入其中的 δ 維持尖銳，乘著一道鋒面向外行進。同樣的 δ 源，回應卻截然不同，由方程的類型決定。分布框架眼也不眨地處理這兩者；它不假裝物理是齊一的。

最後一段誠實的小字，重複一遍，因為恰恰在這裡它最要緊。分布導數是一場勝利，但它並沒有讓一切都變得合法。你依然無法把兩個分布相乘，所以你不能寫「delta 乘 delta」，也不能對 H 求導後在某個非線性項裡把它平方還指望它有意義——這是一道真實的牆，使得這座階梯上的非線性偏微分方程、震波，以及適定性問題，遠比線性的難得多。求導變免費了；相乘沒有。把這兩個事實並排放在一起，正是區分「能流暢運用分布的人」與「只不過學會了 δ 那套把戲的人」之所在。