熵是一个计数的对数
我们早先把熵当作衡量一个系统铺得有多开的量。统计力学却赋予它一个惊人地字面化的含义。数一数那些看起来同属一个宏观状态的微观状态——也就是逐个分子写满的细节排列——的数目。取这个数目的对数。乘上玻尔兹曼常数。这就是熵，到此为止。这便是统计熵，而这道配方就刻在玻尔兹曼的墓碑上：S = k log W。这个词全部的神秘感顿时融化：统计熵不过是把“这件事能以多少种方式发生？”整理干净后的一种说法。
偏偏是对数，为什么？因为当你把两个系统并到一起时，熵必须可以相加，可那些*计数*却是相乘的。把两颗骰子放到一起，组合起来的结果数是 6 乘 6 等于 36，而不是 6 加 6。对数正是那唯一能把相乘变成相加的运算：log（A 乘 B）等于 log A 加 log B。所以玻尔兹曼熵公式恰恰就是那套记账法，它让熵表现得像经典热力学一向坚称的那样——一个可加的、广延的量。
当计数无法降到一的时候
有时一种物质即便在最低温下也无法把自己理成单一的排列，因为某些分子能以相同的能量指向不止一个方向，还没来得及取得一致，就被冻住了。一氧化碳就是经典的例子：每一个小分子都可以头朝前或尾朝前躺着，而在它结冰时，并没有哪条能量上的理由去偏爱其一。晶体便把一团杂乱锁定下来，留下一个大于一的剩余计数——于是也留下一份一直挺到最底端的剩余熵。这个顽固的余项就叫残余熵，它鲜活地提醒我们：熵确实关乎对排列的计数，而不单单关乎温度。
能量均分定理：人人分到同样一份
现在来看第二条伟大的捷径。一个分子可以用好几种互不相同的方式来储存能量：左右、上下、前后地平移滑动；绕各个轴自转；等等。每一种独立的储能方式，叫作一个自由度。能量均分定理给出一个极其“民主”的论断：在寻常温度下，每一个这样的自由度平均都持有完全相同的一份能量——一份等于热能 kT一半的份额。没有哪种运动方式被偏爱；能量被均匀地分摊出去，就像一张被切成相等几块的派。
一旦你接受了这一点，你几乎掰着手指就能把一种物质的能量数出来。一个惰性气体的单原子只能朝三个方向滑动，于是它持有三份 kT 的半份额，再无其他。这立刻就预言了：当你给它加温时，它的内能上升多少——从而它的热容是多少。能量均分定理把“这种气体吸进多少热？”变成了一桩*数一数它能怎样运动*的事。
公平分配在哪里失灵（以及为何这反倒美妙）
均分是一条慷慨的规则，但它附带着一行小字：一个自由度只有在它*容易被唤醒*时，才会收下它那半份 kT。如果某种运动方式的第一级台阶被设得远高于 kT——分子里僵硬的键振动在室温下往往就是如此——那就连一级都爬不动，因为热能的“现金”不够，这一模式便保持冻结、毫无贡献。所以公平分配的规则只适用于那些被开启的模式；僵硬的、高台阶的模式则一直沉睡，直到你把温度加得足够高才把它们唤醒。