在波动的到底是什么？
上一篇给我们留下了一个谜。水波是水在上下起伏；声波是空气被挤压。如果电子是波，那么是什么东西在波动？诚实的答案让所有人吃惊：没有任何实体在波动。这个波是一个数学对象，它存在于空间中的每一个点，被称为波函数，通常用希腊字母 psi，ψ 来表示。
把波函数想成对电子量子态的一份完整描述——附在每一个位置上的一个值，告诉你关于这个电子所能知道的一切。它不是电子本身，也不是一团涂抹在空间里的电荷云。它是信息，编码成一个波的形式。如何读出这份信息，正是本篇的全部要点。
统御一切的方程
1926 年，埃尔温·薛定谔写下了波函数必须服从的规则：薛定谔方程。你不需要它的符号也能抓住它的职责。把它想成量子力学的总配方——相当于牛顿定律，但用于波的世界。把电子所受的力（比方说，一个原子核的吸引）输进去，方程就告诉你哪些波函数是被允许的。
魔法在这里。方程不只是递给你一个波函数——它递给你一整族被允许的波函数，每一个都盖着一个确定能量的印章。只有特殊的、「装得下」的波形才能干净地解出它，而那些特殊波形只带有某些能量。原子那些一级一级的能级，不是人为塞进去的；它们是从方程里自动掉出来的。这正是它的胜利。
玻恩的洞见：平方它，得到概率
波函数听上去很抽象，直到你学会怎么把它兑现。1926 年，马克斯·玻恩给出了钥匙——玻恩诠释：取某一点的波函数，把它的大小平方，你就得到在那一点找到电子的概率。波函数大的地方，电子很可能在那里；波函数接近零的地方，电子几乎从不出现。
这个平方出来的量有个名字：概率密度。它是从抽象的波通往你真正能测量到的东西的桥梁。量子力学的核心，不是一套告诉你电子在哪里的理论。它是一套告诉你——如果你去看，电子会在哪里冒出来的概率的理论。这个转变——从确定性到概率——是与日常物理最深刻的决裂。
如何向波提问
如果波函数握有电子的全部信息，那你要怎么提取出一个具体的数——比如它的能量，或它的动量？量子力学有一套精确的程序。它给每个可测量的量都指派一个数学操作，叫做算符，你把它作用在波函数上。算符就像你向波提出的一个问题。
可能会发生一件美妙的事。对某些特殊的波函数，作用算符之后，你拿回来的是同一个波函数，只不过乘上了一个数。那个数就是测量值——叫做本征值——它锐利而确定。薛定谔方程本身正是如此：它就是能量算符在问「你的能量是多少？」，而被允许的能量，就是返回来的那些本征值。
从波到化学
让我们把这串思想收拢起来，因为它是全部量子化学的脊梁：
- 写下电子所受的力（在原子里，就是原子核把它往里拉）。
- 解薛定谔方程，求出被允许的波函数和它们的能量。
- 把每个波函数平方，得到概率密度——电子可能出现位置的那团云。
对氢原子那唯一的电子运行这套配方，掉出来的答案，恰恰就是原子轨道——化学课上画的那些熟悉形状（圆球、哑铃、四叶草）。整整一架子的轨道图，不是装饰；它们就是薛定谔方程的波函数的平方。从此往后，原子不过是一个方程的解。