共振修正法則

當明智的猜測本身就已是解

上一篇指南教你用一個形狀模仿外力 f 的試解去攻擊 a y'' + b y' + c y = f(x)，再解出它的係數。這招漂亮得很——直到它戲劇性地失靈為止。試試 y'' - 3 y' + 2 y = e^(2x)。外力是 e^(2x)，所以自然的猜測是 y_p = A e^(2x)。代入後每一項都塌縮：4A - 6A + 2A = 0，這等於說 0 = 1。世上沒有任何 A 能滿足它。方法並沒有算錯；它撞上了一堵牆。

看看為什麼。特徵方程 r^2 - 3r + 2 = 0 的根是 r = 1 與 r = 2，所以齊次解是 y_c = C1 e^(x) + C2 e^(2x)。你的猜測 A e^(2x) 根本就是那些齊次成分中的一個。把一個齊次解餵進左邊，永遠只可能產生零——那正是「齊次解」這個詞的意思。所以它絕不可能等於非零的外力 e^(2x)。在猜測與 y_c 重疊的那一刻，它就注定失敗了。

修正：乘上 t

整條法則就在這裡。當試解與 y_c 的某一項重複時，把那個猜測乘上 x（或乘上 t，看你的變數是哪個），再試一次。對上面的例子，把 y_p = A e^(2x) 改成 y_p = A x e^(2x)。這條修正法則——也叫重複法則——就是本篇指南的全部內容。其餘一切，都是去理解為什麼多出一個 x 的因子，恰恰是正確的修補，不多也不少。

把它跑一遍。對 y_p = A x e^(2x)，乘積法則給出 y_p' = A e^(2x) (1 + 2x)、y_p'' = A e^(2x) (4 + 4x)。代入 y'' - 3 y' + 2 y：e^(2x) 被提出，括號變成 (4 + 4x) - 3(1 + 2x) + 2x = 4 + 4x - 3 - 6x + 2x = 1。注意 x 項完全相消——它們本來就必須相消，因為 A x e^(2x) 有一半身子坐在齊次世界裡——存活下來的是一個乾淨的常數。於是 A e^(2x) = e^(2x) 逼出 A = 1，得 y_p = x e^(2x)。牆消失了。

forcing f(x)        bare guess           if it appears in y_c, modify to
-----------------   ------------------   -------------------------------
  e^(2x)              A e^(2x)             A x e^(2x)
  sin(w x)            A cos + B sin        x (A cos + B sin)
  3x + 1              A x + B              x (A x + B)
  e^x  (double root)  A e^x                A x^2 e^x      <- multiply by x^2

修正永遠是「把整個猜測乘上 x^s」，其中 s 是那個惹事的根在特徵方程中重複的次數。

為什麼是一個 t，何時又必須是 t 的平方

x 這個因子並不神奇；它正是齊次理論重根情形中冒出來的那個 x——在那裡，重根 r 給出第二個解 x e^(rx)。機制完全相同。一個單根對 y_c 貢獻 e^(rx)；若外力恰好以同一個速率 r 推動，回應就「深」一級——它多帶一個 x 的因子而增長。一次重疊，一個 x 的因子。重疊的深度決定了次方。

這就是為什麼一般的陳述是：乘上 x^s，其中 s 是那個相符的根的重數。若外力 e^(rx) 撞上一個被特徵方程當作「二重根」的根，那麼 e^(rx) 與 x e^(rx) 都已經在 y_c 裡了，所以單一個 x 還不夠——x e^(rx) 仍然是齊次的——你必須升到 x^2 e^(rx)。對一個普通的二階方程而言，s 永遠只會是 0、1 或 2；s = 0 表示沒有重疊，上一篇那個未經修正的猜測就是正確的。

代數真正想告訴你的：共振

這場代數上的相撞，有一個鮮明的物理名字。當外力與系統的某個自然模態相符——當你恰好以鞦韆自身的節奏去推它——你就遇上了共振，而一個共振強迫項，正是一個與 y_c 重疊的外力。那多出來的 x 因子，是數學在宣告：回應不會安頓成一個固定大小的穩態振盪；它的振幅反而會增長。原本有界、像 e^(2x) 那樣的答案，被換成了一個無界攀升的 x e^(2x) 答案。

最乾淨的圖像是一個無阻尼振子 y'' + w^2 y = cos(w x)：一根恰好以自身固有頻率 w 被推動的彈簧。齊次解是 cos(w x) 與 sin(w x)，所以外力 cos(w x) 是共振的，修正法則把猜測變成 x 乘上正弦與餘弦。特解正比於 x sin(w x)——一個包絡 x 永遠線性增長的振盪。這就是純共振：教科書裡被持續音波震碎的玻璃杯，振幅不設上限地一路向上行進。

這幅圖像會誘你忘記一個誠實的告誡：共振並「不」需要零阻尼。純粹、無界、隨 x 線性增長，是那個理想化、無摩擦的極端。只要加上一點點阻尼（a y'' + b y' + c y，b > 0），根就獲得一個負實部，強迫頻率不再與某個根完全相符，光禿禿的猜測不必加任何 x 就成功，回應也保持有界——但當驅動頻率接近固有頻率時，它仍可能尖銳地突起。真實的共振，通常是一個很大但有限的回應，而非無限大的；那個失控的 x，是無阻尼這個特殊情形。

配方與它誠實的限制

先解齊次問題並寫下 y_c——不知道它，就無法套用這條法則。
為外力 f(x) 組出自然的試解猜測，與上一篇完全一樣（此時還不加 x 因子）。
比對：猜測中是否有任何一項已經出現在 y_c 裡？若沒有，s = 0，修正就到此為止。
若有重疊，把「整個」猜測乘上 x^s，其中 s 是相符之根的重數（單根為 1，重根為 2）。
代入修正後的猜測，解出係數，再把 y_c + y_p 相加得到通解。

把邊界一起帶在身上。這條法則，和它所修補的特解方法一樣，完全活在常係數、特殊外力的世界裡：f 必須是多項式、指數、正弦或餘弦，或這些的乘積。遞給它像 tan(x)、ln(x) 或 1/x 這樣的外力，待定係數法根本就沒有任何有限的猜測可供修正——那是下一篇指南參數變易法的地盤，它能處理任何外力，但代價是更多的工夫。

兩個讓你保持誠實的提醒。其一，x^s 是有效的「最小」墊高；在 x 已足夠時卻用 x^2，不會破壞方法，但會壓給你一堆最後全為零的多餘係數——浪費的代數，而非錯誤。其二，修正只觸及那個共振的區塊：若外力是像 e^(2x) + sin(3x) 這樣的和，而只有 e^(2x) 共振，就只把那一塊乘上 x，別動正弦。按各自的情況分別對待外力的每一部分，這恰恰是本層最後一篇指南要講精確的疊加觀念。