可分離方程：把變數分開

當規則能拆開時

你已經知道一階方程長什麼樣子：dy/dx 在每一點告訴你斜率，而你要尋找的是斜率處處服從這條規則的那個函數。多數時候你沒辦法盯著它就直接積分。但有時規則格外友善——右邊拆成一個只與 x 有關的部分，乘上一個只與 y 有關的部分。這就是 可分離方程，也是我們只靠積分就能攻克的第一類方程。

具體來說，可分離方程可以寫成 dy/dx = g(x) h(y)。把 g(x) 想成由時鐘掌控的部分，h(y) 想成由當前狀態掌控的部分。一個放射性樣本的衰變率正比於還剩多少：dy/dx = -k y。這裡 g(x) = -k（一個常數——時鐘部分很平凡），h(y) = y。一杯變涼的咖啡服從 dy/dx = -k (y - T)：同樣地，x 的部分只是常數，全部的戲份都落在 y 的部分。判準純粹是機械式的：你能不能把右邊分解成「只含 x」乘「只含 y」？能的話，就開工。

搬移，再對兩邊積分

這個方法的形狀簡單到近乎可疑。從 dy/dx = g(x) h(y) 出發，把所有帶 y 的東西收到左邊、所有帶 x 的東西收到右邊：dy / h(y) = g(x) dx。現在每一邊都是乾淨的單變數積分。對兩邊各自積分——左邊對 y、右邊對 x——你就把 y 和 x 綁進同一條方程裡了。這一步正是方法名稱的由來：分離變數。

確認可分離：把右邊寫成 g(x) h(y)。若無法這樣分解，本方法不適用——到此打住。
分離：把 dy 與所有 y 移到一邊，dx 與所有 x 移到另一邊，得到 dy / h(y) = g(x) dx。
對兩邊積分——左邊對 y，右邊對 x。在其中一邊加上單一的任意常數 C；永遠不需要兩個。
若能解出 y 就解出來。常常可以，但有時只能讓答案纏在一起——那是一個隱式通解，它仍然是完全合格的答案。

為什麼一個常數就夠？每個積分老實說都會生出自己的常數，但它們分處等號兩側，所以你能把一個減去另一個，再揉成單一的 C。看 dy/dx = -k y：分離得 dy/y = -k dx，積分得 ln|y| = -k x + C，取指數得 y = A e^(-k x)，其中 A = e^C 是一個全新的常數。這就是指數成長與衰變，從零推導出來——不是背下來的，而是建出來的。

除法悄悄丟掉的東西

陷阱就在這裡。為了分離，你除以了 h(y)——而除法只有在 h(y) 不為零時才合法。每一個使 h(y) = 0 的 y 值，都是你不被允許做除法的地方，而那些正是方法默默丟掉的常數解。對 dy/dx = -k y，我們除以了 y，在 y = 0 時是不合法的；而確實，y = 0（空樣本，永遠保持空著）是一個貨真價實的解，公式 y = A e^(-k x) 只能在 A -> 0 的極限下才碰得到。專講這件事的整篇指南是下一篇，但現在就要學會：一看到除法就警覺。

補救是一句話的習慣：在除以 h(y) 之前，先找出 h(y) = 0 的每一個根，把那些常數函數本身當作解寫下來。它們被稱為遺失的常數解。邏輯斯諦方程 dy/dx = r y (1 - y) 的 h(y) = r y (1 - y)，在 y = 0 與 y = 1 兩處皆為零；分離會把兩者都弄丟，但它們都是真的（滅絕與環境承載量）。略過這一步不會讓你的代數算錯——只會讓你的答案不完整。

釘住你要的那一條曲線

積分給出一整族曲線，每個 C 值對應一條——一疊衰變曲線，各自從不同的量出發。要從中挑出你的問題真正描述的那一條解，你補上一個額外事實：一個起始點，例如 x = 0 時 y = 5。把它代入、解出 C，這一族就塌縮成單一一條曲線。一個方程加上這樣一個起始事實就是初值問題；對可分離方程而言，那是一個可分離初值問題。

dy/dx = -k y,   y(0) = 5
  separate:    dy/y = -k dx
  integrate:   ln|y| = -k x + C
  general:     y = A e^(-k x)
  apply IC:    5 = A e^0  ->  A = 5
  solution:    y = 5 e^(-k x)

一個可分離初值問題，從頭到尾：起始值 5 釘死了自由常數 A。

在你相信這幅圖之前有個誠實的提醒：你建出的解只保證在起始點周圍的某個區間上成立，並非對所有 x 都成立。公式可能爆掉，或 h(y) 可能碰到禁止的零點，真正的解就在那裡停住。那個窗口就是有效區間，從公式中讀出它——看出哪裡分母為零、或對數的引數變負——是誠實解題的一部分，不是事後補記。

當答案拒絕解開時

有時對兩邊積分後，你就是無法把 y 用 x 表示出來——兩者纏成同一條關係式，像 y^2/2 + y = x^3/3 + C。別慌，也別硬解。一條把 x 與 y 綁在一起、且被解曲線滿足的關係式，就是一個隱式通解。它照樣畫出正確的曲線，照樣回答初值問題（代入起始點、求出 C），而且往往是答案所能採取的最真實形式。執意要一個顯式的 y =（x 的公式），有時是在要求一個用初等函數寫不出來的東西。

這牽連到整門學科一個更宏大、也更令人謙卑的事實：絕大多數微分方程根本沒有封閉形式的解。可分離方程之所以珍貴，正是因為它們屬於純積分能夠取勝的罕見情形。當積分失效時——而它通常會失效——我們轉而倚靠數值方法來逐步計算解，以及倚靠定性方法（斜率場、相線）在從不寫出公式的情況下理解解的形狀。分離變數是第一階；它教會你那些招式，卻不是整道梯子。