無摩擦的理想化
上一篇你認識了彈簧—質量—阻尼系統，以及它的電學雙胞胎 RLC 電路，兩者由力電類比綁在一起。完整的力學定律是 m x'' + c x' + k x = 0：質量乘加速度，加上一個阻尼項，再加上彈簧的回復拉力。現在我們做一個大膽的簡化——把阻尼 c 設為零。沒有空氣阻力，線圈裡沒有摩擦，沒有電阻在漏掉能量。存活下來的，是全物理學中最乾淨的振子。
剩下的是 m x'' + k x = 0，或除以質量後寫成 x'' + (k/m) x = 0。這是一個常係數的二階齊次方程，而且完全沒有一階導數項。它所描述的運動稱為簡諧運動——說「簡」，是因為沒有任何東西使它複雜化；說「諧」，是因為答案竟是單一純音，一條沒有任何泛音的正弦波。它正是那副赤裸的骨架，接下來三篇將在其上掛起摩擦、外力與共振。
求解它：兩個虛根
你已從二階方程那一梯級學會這套機制：猜 x = e^(rt)，方程 x'' + (k/m) x = 0 便坍縮成特徵方程 r^2 + (k/m) = 0。解出 r 得 r^2 = -(k/m)，而由於 k 與 m 都是正的，右邊為負——沒有實平方根。這兩個根是一對純虛數，r = +-i*omega，其中 omega = sqrt(k/m)。這正是共軛複根情形最純粹的樣子，實部恰好為零。
實部為零，正是讓運動既不增長也不衰減的原因。當根為 alpha +- i*beta 時，通解前面會帶一個因子 e^(alpha t)：正的 alpha 會把振盪吹脹起來，負的則會把它阻尼壓下去。這裡 alpha = 0，所以 e^(0*t) = 1，那層包絡是平的。振盪以恆定振幅鳴響，永遠維持相同的高度——這是無阻尼系統錯不了的指紋。
把 r = +-i*omega 代入複根的標準配方，得到通解 x(t) = C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t)。這兩塊都是貨真價實的解，依疊加原理，它們的任何組合也都是解。兩個自由常數 C1 與 C2，正是你對二階方程所預期的那兩個；你用一個初值問題把它們釘住——通常是起始位置 x(0) 與起始速度 x'(0)。
一道波，兩張臉：振幅與相位
C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) 這個形式雖正確，卻把圖像藏了起來。同一頻率的正弦與餘弦之和，奇妙地竟只是一條平移過的單一正弦波。有一條恆等式能讓你把兩者摺成一個：C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) = A cos(omega t - phi)。同樣的運動，換了身衣裳。這第二個形式就是振幅—相位形式，也正是你的眼睛真正想要的那個。
C1 cos(wt) + C2 sin(wt) = A cos(wt - phi)
A = sqrt(C1^2 + C2^2) <- the amplitude
tan(phi) = C2 / C1 <- the phase angle
A : how far it swings (the peak displacement)
phi : where in the cycle it starts (a time shift)
w : how fast it cycles (w = omega = sqrt(k/m))如今每個符號都帶著明白的意涵。振幅 A = sqrt(C1^2 + C2^2) 是質量從靜止位置擺到最遠處的距離——運動的大小。相位 phi 告訴你計時開始的那一刻，振盪正處於週期中的何處：它把整道波在時間上向左或向右滑動，卻不改變其形狀。振幅與相位這兩個數，合起來就是區別一次擺盪與另一次擺盪的關鍵。最要緊的是，這兩者都碰不到頻率：你撥彈簧的力道改了、放手的時機改了，A 與 phi 都會變，但振盪的快慢卻紋風不動。
固有頻率：機器本身的性質
那個頑固的量 omega = sqrt(k/m) 就是固有頻率，一個振子所擁有最重要的單一數字。它是當你擾動系統、然後退開後，系統「想要」鳴響的速率。注意它取決於什麼：勁度 k 與質量 m，再無其他——不是振幅，不是相位，也不是你怎麼起始它的。較硬的彈簧（k 較大）鳴得較快；較重的質量（m 較大）鳴得較慢。系統內建有自己的音高，就像一支音叉或一只酒杯那樣。
把兩個相關的詞分清楚是值得的。cos(omega t) 裡的 omega 是角頻率，以每秒弧度計；日常的頻率 f = omega/(2*pi) 數的是每秒幾個完整週期（赫茲），而週期 T = 2*pi/omega 是完成一次完整擺盪所需的時間。它們是同一節奏的三個名字。透過力電類比，正是這同一個 omega = 1/sqrt(LC)，成了 LC 電路的固有頻率——在沒有電阻阻擋下，電荷在電容與電感之間來回晃盪的速率。一條公式，兩個物理世界。
能量去了哪裡——以及它為何從不離開
還有一個更深的角度，能看出為何振幅永遠保持不變，而且它甚至用不上 x(t) 的公式。把 m x'' + k x = 0 乘以速度 x'，你便能認出結果是 E = (1/2) m (x')^2 + (1/2) k x^2 對時間的導數為零。那個量 E——動能加上彈簧位能——是一個守恆量：它在運動進行時不變。沒有阻尼，能量便無處可去。
想像能量來回晃盪。在擺盪的兩個極端，質量瞬間靜止——全部能量都以位能形式儲存在被拉伸或壓縮的彈簧裡。飛掠中心時，彈簧放鬆了，質量卻達到最高速——全部能量都是動能。在這兩者之間，總量從不改變，只是換了戲服。正是這場永不止息、毫無損耗的交換，把振幅 A 維持為恆定。一旦你加進哪怕一絲阻尼，E 便開始流失，A 隨之縮小，於是你就離開了簡諧運動，踏入下一篇那欠阻尼的世界。