你早已見過的那份偏離，終於有了名字
上一篇裡，你踏出了一個尤拉步：站在某點 (t, y)，讀出方程交給你的斜率 f(t, y)，再沿著那條切線直走一小段距離 h，落到 y + h f(t, y)。再做一次、又一次，一道由小直線段拼成的階梯便代替平滑的真解向前爬行。你幾乎一定注意到了麻煩：才走幾步，你的數值曲線就明顯地坐在真實曲線的下方或上方，而那道縫隙還持續變寬。那道縫隙有個名字，而學會丈量它，正是本篇全部的工作。
那道擴大的縫隙裡，藏著兩種截然不同的錯誤，而把它們混為一談，是整個主題裡最常見的單一誤解。第一種，是*單獨一步*所犯的錯——你用一條直切線換掉了一段彎曲的真解，所以縱使你恰好從真實曲線上起步，落點也會略微偏離它。第二種，是走過許多步之後*累積*的錯誤，是你最終數值與真值之間的總距離。我們把前者喚作局部截斷誤差，把後者喚作全域截斷誤差，而幾乎一切有趣之事，都出自前者如何餵養後者。
單獨一步錯在哪裡
要把局部誤差看個透徹，就問真解在一步之內做了什麼，再拿尤拉法所做的去比。微積分恰有一件為此而設的工具——泰勒展開。若 y(t) 是真解，而你前進一步、步長為 h，那麼 y(t + h) = y(t) + h y'(t) + (h^2/2) y''(t) + （h 的更高次項）。尤拉步只留下頭兩塊：它用 y(t) + h y'(t)，因為 y'(t) = f(t, y(t)) 恰是方程給出的斜率。於是尤拉法扔掉了 (h^2/2) y''(t) 這一項及一切更小的東西。那被扔掉的一塊，*正是*單獨一步的局部截斷誤差。
讀懂那個剩下的項，許多事就清楚了。局部誤差的主導塊約為 (h^2/2) y''，所以它像 h^2 那樣縮小——是步長的*平方*。把 h 減半，單步誤差便掉到四分之一；把 h 砍到十分之一，單步便忠實一百倍。而那個因子 y'' 也道出一個真實的幾何故事：y'' 丈量解的彎曲程度，所以真實曲線彎得越急之處，直切線就越快地離開它；而解幾乎筆直之處，尤拉法幾乎毫無差錯。局部誤差，是「在一步的長度內把曲線當成直線」這份假裝所付的代價。
從一次閃失到整段旅程
這裡有個第一次見到幾乎讓所有人意外的轉折。每一單步讓你付出約 h^2 大小的誤差——小得可愛。但要橫越一段固定的時間區間，譬如從 t = 0 到 t = 1，你需要約 1/h 步：把 h 減半，你就得走兩倍多的步數。總誤差非常粗略地說，是（步數）乘以（每步誤差），約為 (1/h) 乘以 h^2 = h。局部誤差裡那兩個 h 的因子被吃剩成一個。所以在固定區間上，全域誤差只像 h 那樣縮小，而非像 h^2。
這就是整件事令人洩氣的核心。把步長減半，你便做了兩倍的工——但最終答案只精確*兩倍*，而非四倍。要再多換得一位小數的精度，你必須把 h 縮小十倍，做十倍的算術，只為一位數字。尤拉法是以一個糟糕透頂的匯率在購買精度。那精確的關係——全域誤差正比於 h 的一次方——正是尤拉法被冠以一階之名的緣由，也正是何以它縱然對培養直覺有用，卻沒有人拿它來做正經的計算。
把「階數」說精確
方法的階數，是你能貼在任何逐步格式上的最重要的單一數字，所以讓我們不含糊地把它說清。一個方法具有 p 階，若在固定區間上，當步長 h 被逼向零時，它的全域截斷誤差表現得像一個常數乘以 h^p。p 越高就好得驚人：它意味著當你加密網格，誤差崩塌得快上太多。一階（尤拉）讓你用十倍的代價換得十倍的精度；四階則讓你用同樣的十倍加密，換得 10^4 = 一萬倍。那道鴻溝，正是何以「階數」是人人據以採買的貨幣。
那定義裡疊著一句誠實的警語：階數是關於 h 縮小之*極限*的陳述。它承諾的是改進的速率，而非在任一特定 h 下誤差的絕對大小。一個高階方法在粗步長下仍可能錯得離譜——它前頭的常數或許很大，或者解彎曲得猛烈。反過來說，同階的兩個方法在實務上也可能相差一個大常數因子。所以「四階」是關於誤差*隨著你加密*而消亡之快慢的承諾，而非單獨一次計算就精確的保證。把階數讀成「永遠精確」，是一個微妙卻真實的誤解。
method local error global error order
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Euler ~ h^2 ~ h 1
improved Euler ~ h^3 ~ h^2 2
classical RK4 ~ h^5 ~ h^4 4
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refine h -> h/10 : order-1 error / 10
order-2 error / 100
order-4 error / 10000藥方：別再只信一個斜率
若尤拉法的瑕疵在於它認準了單一斜率——步首的那一個——那麼藥方幾乎自己寫了出來：在決定落點之前，沿著整步多蒐集些斜率資訊。最簡單的修補，是先試走一個尤拉半步或整步，看看*那裡*的斜率，再用一個平均斜率或中點斜率（而非起點斜率）來踏步。那多看的一眼抵消了主導的 (h^2/2) y'' 誤差項，把方法從一階提升到二階。這正是改良尤拉法與中點法背後的構想，而它只讓你每步多付一兩次斜率求值。
把同一構想推得更狠——在步內幾個巧妙挑選的點上取樣斜率，再用精心調校的權重把它們調和，好讓更多泰勒項抵消——你便抵達了著名的龍格—庫塔法。那個有名的四階成員 RK4，每步求值斜率四次，並把它們組合起來，使得直到 h^4 的誤差項都消失，交付出表中那一萬倍的槓桿。整篇下一文都獻給建造 RK4，並看清那四個斜率為何協同得如此漂亮。你在此丈量的一切——局部對全域、那個丟失的 h 次方、階數的意義——正是你將用來證明 RK4 名副其實的那把尺。
臨行前的兩句誠實話
兩句叮嚀讓整幅圖像保持誠實。第一，提高階數並非一頓你能永遠吃下去的免費午餐。上面的一切都假設截斷誤差——把泰勒級數截短的誤差——是室內唯一的誤差。但真實的電腦還會犯捨入誤差：它以有限位數儲存數字，而每一次算術運算都丟掉幾位。截斷誤差隨你把 h 變小而縮小，捨入誤差每步卻大致固定，而 h 縮小時你又走*更多*步——所以把 h 推到荒謬地小，捨入誤差終將增長並淹沒那份收益。存在一個甜蜜點，而非一道無盡的下降。
第二，一個方法在通過一道更基本的考驗之前，根本不配擁有階數。它必須是相容的——它的單步誤差必須隨 h 趨於零而消失，好讓每一步至少*瞄準*正確的斜率——而且它必須是穩定的，意即當步驟層層累積時，微小的誤差不會被放大到失控。唯有兩者皆成立時，加密網格才真正把全域誤差逼向零，這性質喚作收斂。那一束——相容性、穩定性與收斂性——是每個方法都得立足其上的基岩；日後關於多步法與關於剛性的篇章，正是穩定性從一道形式手續變為決定性問題之處。階數告訴你收斂得多快；相容性與穩定性，則是讓你能收斂的那回事。