拉普拉斯變換到底在做什麼

通往一個更容易世界的橋

到目前為止，你已能用猜 y = e^(rt)、再讀出特徵方程之根的方法，去解常係數方程 a y'' + b y' + c y = 0。當右邊為零、或是個整齊的強迫項時，這招漂亮無比。但若是一個在 t = 3 才被打開的電路，或一根被鐵鎚猛然一擊的樑呢？拉普拉斯變換正是為這些粗糙、開關式、脈衝式的輸入而生的工具——而且額外的好處是，它把初值條件直接摺進代數裡，不必留到最後再單獨收拾。

核心的意象是這樣的。在 t 的世界——也就是時域——裡解一條 ODE，意味著做微積分：求導、積分、與導數搏鬥。拉普拉斯變換把你的問題經由一座橋，帶進一個新世界，即 s 域，在那裡每個 t 的函數都化為一個新變數 s 的函數。神奇之處在於，到了對岸，求導這個運算變成了單純的乘法。此岸的微積分，成了彼岸的代數。你在那邊解開容易的代數問題，再把答案沿橋帶回來。

負責搬運的那道積分

那麼這座橋具體是什麼？函數 f(t) 的拉普拉斯變換，是一道吞下 f、產出一個新函數的積分，記作 F(s) 或 L{f}：F(s) = 從 0 到無窮對 e^(-s t) * f(t) dt 積分。慢慢讀。你把函數乘上一個衰減權重 e^(-s t)，再把結果從 0 起對所有時間累加起來。輸出不再依賴 t——那個變數已被積分掉了——它只依賴 s。一個 t 的函數進去；一個 s 的函數出來。

Definition:   L{f}(s) = F(s) = integral_0^infinity  e^(-s t) f(t) dt

f(t) = 1      ->  F(s) = 1/s            (s > 0)
f(t) = e^(a t) ->  F(s) = 1/(s - a)      (s > a)
f(t) = t      ->  F(s) = 1/s^2          (s > 0)

Linearity:    L{ a f + b g } = a L{f} + b L{g}

定義積分、由它直接算出的三個首批變換，以及讓你能逐項變換和式的線性法則。

親手算最簡單的情形，便知它毫不神祕。取 f(t) = 1。積分是從 0 到無窮對 e^(-s t) dt，這是一個衰減指數下方的面積——等於 1/s，前提是 s > 0，尾巴才真的會衰減。所以 L{1} = 1/s。對 f(t) = e^(a t) 做同樣一行的計算，得到 1/(s - a)。你不是在背誦咒語；表中每一條目，不過就是這道積分，算過一次而已。下一篇會把你反覆要用的條目收集起來，讓你永遠不必重算。

讓它好用的兩條法則

一條一次只對付一個函數的積分，會很冗繁。有兩個性質拯救了它。第一個是線性：和的變換等於各變換之和，常數可直接提出——L{a f + b g} = a L{f} + b L{g}。這是立即可得的，因為定義積分本身就是線性的。它意味著你能把像 3 - 2 e^(t) + 5 t 這樣複雜的組合，逐項變換、逐項查表，再相加。整套方法承襲了一開始就讓線性方程易於處理的那同一種線性。

第二個性質，正是讓變換在本節佔有一席之地的那一個：導數的變換是 L{y'} = s * Y(s) - y(0)，其中 Y 是 y 的變換。看看發生了什麼。t 裡的求導，化成了 s 域裡的乘以 s——正是「微積分變代數」的承諾——而初值 y(0) 作為一個額外項從公式裡掉了出來。用兩次便得 L{y''} = s^2 * Y - s * y(0) - y'(0)，這回同時帶著 y(0) 與 y'(0)。下一篇將完全專注於這條法則，以及它把初值條件內建進去的方式。

去而復返：一趟往返

一座單向橋毫無用處。一旦你在 s 域裡擺平了代數、手握一個運算式 Y(s)，你就得回家——把它所代表的 y(t) 還原回來。這趟回程便是拉普拉斯反變換，記作 L^(-1)。原則上它是複平面上的一道圍道積分，但你幾乎永遠不會那樣去算。實務上你把變換表反過來用：若你能把 Y(s) 改寫成若干你在表中認得的片段之和，每個片段的反變換便可直接讀出。

麻煩在於，你從 ODE 得到的 Y(s) 通常是一個雜亂的單一分式——s 的多項式之比——照原樣對不上任何表中條目。解方是部分分式，這個代數工具把一個醜分式拆成若干簡單分式之和，而每一個簡單分式都是表所認得的。例如 1/((s-1)(s-2)) 不在表中，但它等於 -1/(s-1) + 1/(s-2)，而這兩者各自反變換成一個指數。第四篇正是圍繞這個拆分步驟而寫的，因為方法裡大部分真正的算術都住在那裡。

一口氣看完整套方法

現在退一步，看清整個計畫的輪廓——本節其餘篇章將逐一填補的主算法。它是一趟去而復返的旅程，中段的難關被代數所取代。相較於你已熟知的特徵方程路線，它的特別之處在於下面提示框裡的關鍵字：初值條件不是最後才硬接上去，而是從第一步起就被搬進代數裡。

把 ODE 兩邊都做變換，使用 L{y'} = sY - y(0)，讓初值條件立刻進場。
解出所得的代數方程裡的 Y(s)——不必微積分，只需移項整理。
用部分分式把 Y(s) 拆成與表相稱的片段。
用表把每個片段反變換，還原出 y(t)，即時域中的答案。

這就是本節的完整弧線，四個動作：變換、求解、拆分、反變換。請留意，你其實從頭到尾都沒有以通常意義去解一條微分方程——你把它變成代數、做完代數、再變換回來。其餘各篇不過是替你裝備好每個動作：一張好用的表讓第一步與第四步又快又順、為第一步供能的導數法則、第三步所需的部分分式技藝，最後是一個從頭到尾貫通的初值問題。把那座橋的意象記在心裡，這一切便都不會像一袋零散的把戲。