階、線性，與常微分方程的語言

每個方程上的兩個標籤

在上一篇導引中，你已認識了那個核心想法：微分方程是一條關於變化率的規則，而解它意味著找出一整個函數，而非一個數。現在我們要把這些方程分門別類。往後你要做的幾乎每件事——哪個方法管用、你需要幾筆起始資料、甚至到底有沒有乾淨的公式解——都由兩個你看一眼就能回答的問題決定。它的階是幾？它是線性的嗎？把這兩個標籤讀得滾瓜爛熟，一個陌生的新方程就不再令人生畏；它開始主動宣告自己是什麼。

在貼上任一標籤之前，先點清角色。在 dy/dt = k y 中，字母 t 是自變量——它只是一路往前推進——而 y 是回應規則的因變未知量。這件事比它看起來更要緊：我們即將定義的兩個標籤，「只」取決於未知量 y 及其導數如何出現。一個由 t 或 x 構成的係數，無論多麼狂野，都絕不會算到你頭上。把這點牢牢記住，你就能避開初學者最常犯的那個失誤。

階：深入到第幾層導數？

一個方程的階，就是其中出現的「最高」階導數的階數。在 y' = k y 中，最高是 y'，所以它是一階。在 y'' + 3 y' + 2 y = 0 中，最高是 y''，所以是二階——y' 與 y 雖然也在場，但只有最高那一個決定標籤。一般的 n 階方程一路深入到 y^(n)。這一個數字是你要讀出的第一件事，因為它掌管了解擁有多少自由度。

這就是為什麼階值得最先確認：粗略地說，一個 n 階方程帶有 n 份的自由度。它的通解恰好含有 n 個任意常數，而你要釘住一條曲線，也恰好需要 n 筆起始資料。一階需要一個起始值；二階需要一個值再加一個斜率——這正是為什麼在時間上二階的牛頓運動定律，要同時索取初始位置與初始速度。階在你動手算任何東西之前，就告訴你這個世界必須提供多少個條件。

線性：那條巨大的分界線

第二個標籤是後果更重大的那一個。一個線性方程，是指未知量及其所有導數都只以一次方出現、彼此從不相乘、也從不被塞進像 sin、exp、log 或平方根這類函數裡面。把方程想像成一排格子，每個導數一格；線性意味著每一格裝的，是一個係數乘上 y 的單一個、光禿禿的導數，再無其他花樣。辨認它最乾淨的方法，是先認得它必須吻合的標準模子。

a_n(x) y^(n) + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

linear     :  y' + x^2 y = sin(x)        (y, y' first power; x-stuff is free)
nonlinear  :  y' = y^2                   (y is squared)
nonlinear  :  y' + sin(y) = 0            (y inside sine)
nonlinear  :  y y' = 1                   (y times y')

現在來說那個陷阱，值得講兩遍。係數 a_k(x) 與右端 g(x) 可以是自變量的「任意」函數——x^2、sin(x)、e^x，甚至 1/x——方程依然是線性的。線性是一個只關於未知量的陳述。所以 y' + x^2 y = sin(x) 是線性的（y 與 y' 都是一次方；那些 x 的東西只是布景），而 y' = y^2 是非線性的，因為 y 被平方了，y' + sin(y) = 0 也是非線性的，因為 y 被埋進正弦裡。盯著未知量讀，無視布景。

為什麼線性值得如此執著

為什麼這「一個」區別贏得如此多的關注？因為線性方程服從疊加原理：在無外力（齊次）的情形下，若 y1 與 y2 都是解，那麼對任意常數而言 c1 y1 + c2 y2 也是解。解可以相加、可以伸縮。光是這個事實就解鎖了一套完整、系統化的理論——我們幾乎能用一套食譜解出每一個線性常係數方程，也能用簡單的解組建出龐大的解。整座由一階線性積分因子、特徵方程與拉普拉斯變換築起的大廈，都立足於此。

其餘的工作詞彙

在線性這個家族裡，還有幾個形容詞能讓畫面更清晰，而你會不斷聽到它們。當右端 g(x) 為零時，方程是齊次的——方程沒有外力，只跟自己對話，例如 a y'' + b y' + c y = 0。當 g(x) 是某個非零的驅動項時，它是非齊次的——一股來自外界的推力，像 a y'' + b y' + c y = cos(t)。那個外界的項有自己的名字，叫外力函數，而無外力運動與受迫運動之間的對比，將貫穿整門課程。

還有兩個區別，都跟係數有關。常係數方程是用單純的數去乘導數，像 2 y'' + 3 y' + y = 0；變係數方程則讓那些乘數依賴 x，像 x^2 y'' + x y' + y = 0。常係數是我們總能攻克的友善情形。另一方面，自治方程是指自變量不單獨出現——只透過 y 出現——例如 y' = y(1 - y)；時間只藉由狀態進入，從不是一個你直接讀取的時鐘。自治正是讓往後斜率場與相位線圖像如此乾淨的原因，因為這條規則在每一刻看起來都一樣。

把這一切拼起來，如今一個方程在你遇見它的瞬間就道盡千言。面對 x^2 y'' + x y' + y = sin(x)：你讀出二階（最高是 y''）、線性（y 及其導數都是一次方）、變係數（乘數帶著 x）、非齊次（右端的 sin(x) 是外力項），以及非自治（x 單獨出現）。五個詞，你就已經知道它會想要兩個起始條件、疊加原理可供你使用，以及它的方法大致落在哪一章。這就是詞彙的回報：一個標籤，就是一張地圖。

兩問題的檢查清單

讓我們把這個閱讀習慣變得具體。給定任何一個方程，由上而下跑一遍這份簡短的清單；跑完時你已為它分好類，也知道該期待什麼。緊接著的下一篇導引，會接手那個自然而然的後續問題——一旦你有了一個候選公式，要怎麼確認它真的是個解？——而本階梯其餘的篇章會補上初值問題與斜率場的圖像，因此這些標籤會一路伴你向上攀登。

1. 點清變量。哪個字母是自變量（通常是 x 或 t），哪個是未知量 y？下面兩個標籤「只」評斷未知量。
2. 找出階。找到出現的最高階導數——y'、y''，直到 y^(n)。它的階就是方程的階，也是你將需要的起始條件數目。
3. 檢驗線性。y 及其導數是否只以一次方出現、彼此從不相乘、從不被塞進 sin／exp／log／根號裡？若是，就是線性（疊加原理歸你所有）；若你瞧見 y^2、y y'、sin(y)、1/y，它就是非線性。
4. 若是線性，再補上細則。右端是零（齊次）還是一個外力項（非齊次）？係數是常數還是 x 的函數？x 是單獨出現（非自治）還是只透過 y 出現（自治）？