一個點，一整族晶面
第一篇把問題攤開了：一個真實晶體擁有數百族晶面——(100)、(111)、(231)，一族接一族——每一族都有自己的間距、自己的傾斜，而要在尋常空間裡把它們統統記牢，簡直是一場記帳惡夢。第二篇接著從正晶胞（direct cell）裡鍛造出三個全新的向量 a*、b* 與 c*。這一篇，就是那整套機械終於派上用場的地方，而它靠的是一句你該帶著走完整座階梯的俐落話：倒晶格的每一個點，都代表真實晶體裡的一整族平行晶面。
好好體會這件事既奇怪又整潔到什麼地步。一族晶面，是一疊漫延、無窮、貫穿整個空間的平行薄片；而代表它的倒晶格點，是單獨一個小點。倒晶格用一個乾淨的地址，換掉了那疊笨重的薄片。而且這個交換是刻意「裡外顛倒」的：間距寬的晶面（d 大）落在靠近原點的地方，因為 1/d 很小；間距窄的晶面（d 小）則落在很遠的地方。這正是我們在第一篇答應過的、晶體的那道影子——一道繞射相機會直接拍下的影子，於是讀那張底片，就等於讀這幅由小點構成的地圖。
抵達那個點的向量：g_hkl
每一個倒晶格點都有一個地址，你建它的方式，和你建一個真實格點的方式一模一樣——只是改用帶星號的基底。倒晶格向量是 g_hkl = h 乘 a* + k 乘 b* + l 乘 c*。把某族晶面的米勒指數 (hkl) 餵進去，出來的就是從原點直直指向那一族小點的向量。原本在正空間裡當晶面標籤的那幾個整數，到了倒空間就變成單純的座標——這也正是為什麼這個特定向量會有自己的名字，叫做 g 向量。
給它填上真實的數字。取一個簡單立方晶體，邊長 a = 4 埃。因為立方晶胞的倒晶格本身也是立方的，a*、b*、c* 三者互相垂直，長度都是 1/a = 0.25 每埃。現在走幾個點看看。g_(100) = 1 乘 a*，長度 0.25，於是 d_100 = 1/0.25 = 4 埃——正是整條晶胞邊長，本該如此。g_(200) = 2 乘 a*，長度 0.50，於是 d_200 = 2 埃。g_(110) = a* + b*，長度 0.25 乘根號 2 = 0.354，於是 d_110 = 2.83 埃 = 4 除以根號 2。每個答案都與立方公式 d_hkl = a 除以根號 (h^2 + k^2 + l^2) 吻合——只不過在這裡，它是從單一個向量的長度掉出來的，而不是套公式算出來的。
留意一件會絆倒新手的事：(200) 是一個貨真價實、與 (100) 有別的倒晶格點，坐落在 (100) 的兩倍遠處，儘管「(200) 那些晶面」不過是把 (100) 薄片切得細一倍（間距減半）而已。正空間不喜歡公因數，倒空間卻歡迎它們——而且理由很好。那個多出來的點，正是 (100) 族的第二反射級數：布拉格定律對 (100) 晶面寫成 n = 2 的那件事，倒晶格悄悄地把它折進了單一個標籤 (200) 裡。倒空間一個安靜的優雅之處，就是布拉格那個笨拙的「級數」n 直接消融進了指數之中。
為何方向是法線，長度是 1/d
這兩件事並非憑空欽定；它們直接從第二篇建構 a* 的方式裡掉出來——那裡 a* 被造得垂直於 b-c 面，而每個帶星號的向量都遵守 a*·a = 1，同時 a*·b = 0 且 a*·c = 0。方向這件事，一行就講完。拉一個向量，連接該晶面與兩根軸的交點——比方從最靠近原點的 (hkl) 晶面碰到 a 軸的位置 a/h，連到它碰到 b 軸的位置 b/k。把這個向量和 g 做點積。因為 a*·a = 1、b*·b = 1，而所有交叉項都消失，兩端各自恰好貢獻 1，於是 g 乘 (b/k 減 a/h) = 1 減 1 = 0。點積為零就代表垂直——所以 g 與一條躺在晶面裡的線成直角，對第二條這樣的線重複一次，就把它釘死成晶面的法線。
長度那件事也一樣乾淨。間距 d_hkl 是從原點到那個最近晶面的垂直距離，你把交點 a/h 投影到單位法線 g/|g| 上就得到它。那個投影會塌縮——再用一次 a·a* = 1——精確地變成 1/|g|。於是 d = 1/|g|，也就是 |g| = 1/d。這就是活在單一族尺度上的反尺寸關係：把薄片疊得更近（d 更小），倒晶格向量就長得更長。也請留意這番抽象換來的回報——在正空間裡，晶面間距公式對每個晶系都得換一個更難纏的形式，但 |g_hkl| = 1/d 在所有晶系裡都自動成立，連完全歪斜的三斜晶系也不例外。正是這份普適性，讓晶體學家把幾何統統改繞道倒空間。
RECIPROCAL LATTICE ROW - the a* direction of a cubic crystal
a = 4 angstrom, a* = 1/a = 0.25 per angstrom
origin (100) (200) (300) (400)
|-----------o-----------o-----------o-----------o-----> a*
0 0.25 0.50 0.75 1.00 (per angstrom)
= 1/a = 2/a = 3/a = 4/a
distance from origin = |g_hkl| = 1 / d_hkl
(100): 0.25 -> d = 4.00 angstrom (the full cell edge)
(200): 0.50 -> d = 2.00 angstrom (2nd order off (100))
(300): 0.75 -> d = 1.33 angstrom
equal 1/a steps along the row = one plane family plus its higher orders
小晶胞，大影子：倒晶胞
把每一個整數三元組 (hkl) 的 g 向量都收集起來，它們落腳的那些小點自成一個完整的晶格——倒晶格，其中每一個倒晶格點都是某個真實晶面族的地址。這個晶格由它自己的倒晶胞所張成，也就是建在 a*、b*、c* 上的那個小盒子。而它的大小由一條精確又漂亮的規則定死：倒晶胞體積是 V* = 1/V，正晶胞體積的乾淨倒數（在我們一直採用的晶體學慣例裡，不帶 2 pi 這個因子）。
這一條方程式，扛著整個階段的頭條：真實晶胞小，倒晶胞就大，反之亦然。把一條真實邊長縮成很短的 a，它的搭檔 a* = 1/a 就變得很長，把倒晶格的小點甩得老遠；把真實晶胞拉開，倒晶格的小點就擠得密密麻麻。這就是戴著晶體學家帽子的傅立葉對偶，也正是下一篇的主題：倒晶格就是正晶格的傅立葉轉換，而傅立葉轉換總是把「窄」換成「寬」——一道窄縫拋出一片寬闊的繞射條紋，一個胖物體投下一道細緻的條紋。把這個念頭記著；第四篇會把它講精確。
在往上爬之前，先誠實提兩個但書，因為這幅地圖是理想化的。第一，倒晶格的「點」只有對無窮大的完美晶體才真的像個點；一個真實、有限的晶體，會把每個點暈成一小團斑塊，其寬度按 1/(晶體尺寸) 縮放——那團暈開，正是你稍後會遇到的謝樂（Scherrer）峰展寬的種子。第二，也更要緊：倒晶格只定死繞射斑點能出現在哪裡——它們的位置純粹是晶格幾何。每個斑點多亮，則來自坐在每個格點上的基元（motif），那是另一個量（結構因子），留待下一階段講。位置來自晶格，強度來自基元：這正是這座階梯一開頭那個「晶格不等於晶體」的分野，如今換成倒空間的語言在說話。
晶體學家為何住在倒空間
整個影子世界值得搭建，深層的理由在這裡：一張繞射圖，就是倒晶格的一幅直接照片。這不是鬆散的比喻——它就是繞射圖即倒晶格這句話字面上的內容。單晶底片上的每一個斑點，都恰好落在某個倒晶格點投影下來的位置，而它的亮度就描出我們所謂的加權倒晶格——同一張小點格網，每個點按它的強度被調暗或調亮。你不必先算出倒晶格再到資料裡去找它；相機直接把它遞到你手上，而讀那張底片，就是讀那幅小點地圖。
有兩個著名的建構，家就安在這個空間裡，而且兩個都在第五篇等著你。埃瓦爾德球是一顆畫在倒空間裡的球：只要它的球面恰好切過某個倒晶格點，就有一道繞射束閃射出來，所以它不過是「此刻有哪些晶面族正滿足布拉格定律」的幾何規則。而布里淵區也不是什麼奇獸——它就是倒晶格的維格納–賽茲晶胞，正是你早已替真實晶格建過的那個「離這個點比離任何別的點都近」的晶胞，如今畫在倒空間裡，成了電子能帶與晶格振動的天然遊樂場。