晶帶、面密度與夾角

這一階停在哪裡

四篇下來,你現在能為晶體內部任何一條線、任何一個平面命名。第一篇把一個方向化成一組整數 [uvw],並把對稱等價的方向收進一個族 <uvw>。第二篇從截距與其倒數讀出一個平面,給出米勒指數 (hkl) 與晶面族 {hkl}。第三篇加上第四個六方指數,讓六邊形三根相等的軸得到公平對待。第四篇量出相鄰晶面之間的垂直間隙,也就是晶面間距 d_hkl,並把它綁回晶胞邊長——那正是布拉格定律將會用到的量。

這最後一篇讓那些指數真正發揮價值。還剩四件工作,每一件都是一小段你可以徒手完成的幾何。第一,哪些晶面因為共用一條稜而歸為一夥——那就是晶帶。第二,原子沿一條選定的線、或跨一個選定的面坐得多緊——也就是線密度與面密度,它們悄悄決定了一塊金屬怎麼彎、一塊礦物怎麼裂。第三,兩個方向或兩個平面之間確切的夾角。第四,如何把一顆晶體完整的三維取向攤平到一張你能一眼讀懂的圓盤上。

晶帶:共用一條稜的晶面

翻開一本書,看看書脊。每一頁都是一個不同的平面,卻全都繞著同一條線轉——書脊。晶體玩的是同一招:一整組平面可以全都平行於某一個共同方向,而這個共享的方向就是晶帶軸 [uvw]。共享它的那些晶面組成一個晶帶,晶帶軸就是它們共同彎折的那條摺痕。單一晶面可屬於許多晶帶,單一晶帶又蒐羅許多晶面,所以晶帶正是把 (hkl) 的晶面世界與 [uvw] 的方向世界縫在一起的結締組織。

判斷歸屬有一條一行的檢驗。一個晶面 (hkl) 屬於晶帶 [uvw],當且僅當 h u + k v + l w = 0。這就是韋斯晶帶定律,它不過是在說「該平面平行於該軸」(平面的法線垂直於軸,所以兩者的點積為零)。試試看:平面 (1 -1 0) 是否落在晶帶 [111] 裡?算 (1)(1) + (-1)(1) + (0)(1) = 1 - 1 + 0 = 0。是的——所以方向 [111] 就跑在 (1 -1 0) 這個平面之內。把平面換成 (11-1),你會得到 1 + 1 - 1 = 1,不為零,那個平面就傾斜出了這個晶帶。

把兩個晶面寫成指數三元組 (h1 k1 l1) 與 (h2 k2 l2);它們的晶帶軸就是這兩個平面相交的那條線。
交叉相乘:u = k1 l2 - k2 l1、 v = l1 h2 - l2 h1、 w = h1 k2 - h2 k1。
約去任何公因數,化到最小的整數組 [uvw]。
用韋斯晶帶定律驗算:對兩個起始晶面,h u + k v + l w 都必須等於 0。例:(100) 與 (010) 給出晶帶軸 [001]——兩面直立的牆沿著那條垂直線相交。

夾角:立方系的點積捷徑

問兩個方向岔開得多陡,而在立方晶體裡,答案就是最樸素的向量點積。對 [u1 v1 w1] 與 [u2 v2 w2],它們之間的夾角遵守 cos(theta) = (u1 u2 + v1 v2 + w1 w2) / (sqrt(u1^2 + v1^2 + w1^2) times sqrt(u2^2 + v2^2 + w2^2))。代入 [100] 與 [110]:cos(theta) = 1 / (1 times sqrt(2)) = 0.707,所以 theta = 45 度。代入一根立方稜 [100] 與一條體對角線 [111]:cos(theta) = 1 / (1 times sqrt(3)) = 0.577,得到那個著名的 54.74 度——鑽石中一根鍵與立方軸所夾的角。

晶面之間的夾角套用同一條公式,但這只因為立方系的一個巧合。在立方晶體裡,平面 (hkl) 的法線恰好正指向方向 [hkl],於是兩個晶面之間的夾角就等於 [h1 k1 l1] 與 [h2 k2 l2] 之間的夾角——把指數丟進同一個餘弦即可。而那個巧合,是立方系獨有的禮物。

原子坐得多密:線密度與面密度

並非每個方向都一樣擁擠,每個平面也是。一個方向的線密度,就是你沿著它行走時,每單位長度所遇到的原子中心數;一個平面的面密度,則是落在其中、每單位面積的原子中心數。在面心立方金屬裡,[110] 這條面對角線是一個最密堆積方向:原子真的彼此相觸,相隔整整一個直徑 2R,所以它的線密度達到最大值,每 2R 一顆原子。任何其他方向都會留下空隙,每單位長度所塞的原子較少。

同一塊金屬裡最密的平面是 {111} 這一族,也就是它的最密堆積面。鋪下這樣的一層,每顆原子都被六顆相觸的鄰居圍住;把各層以錯開的 ABCABC 節奏疊起,你就建成了面心立方結構——填滿空間的 74%(堆積因子 0.74),每顆原子與另外十二顆相觸(配位數 12)。沒有任何等徑球的排列能做得更好。因此 (111) 面每單位面積所承載的原子數,多過晶胞裡任何其他平面。

FCC (111) -- the densest plane in the cell

   one layer:    o   o   o      each atom touches 6 in-plane
                o   o   o        neighbours (2D coordination 6)
   stacking:    A B C A B C...   close-packed direction <110>,
                                 atoms touch, spacing = 2R

  linear density along [110] = 1 atom / 2R        = 1/(2R)
  planar density of (111)    = 2 / (sqrt(3)*d^2),  d = 2R
                             = 1/(2*sqrt(3)*R^2)  ~= 0.29 / R^2
  packing factor (FCC) = 0.74     coordination number = 12

FCC 的 (111) 面與 <110> 方向,每單位面積與每單位長度所承載的原子最多——這正是晶體發生滑移時,它們雀屏中選的原因。

這番清點並非閒工。當金屬變形,它的晶面彼此相互滑動,而滑移偏好「最密的面沿著它最密的方向滑」——這個配對就是一個滑移系統,FCC 的是 {111}<110>,共十二個。道理很直觀:間距大又平滑的最密堆積面,最容易彼此剪過去,就像一疊撲克牌。同一套幾何反過來主宰斷裂——許多脆性晶體會沿著特定的低指數面解理裂開。而這裡有個誠實的轉折:真實金屬降伏所需的應力,比完美晶體所需的少了 10 到 100 倍,因為滑移並不是一次挪動整個平面。一條線缺陷,也就是一條差排,一次只推過一排原子(那是缺陷那一階的地盤),所以理論剪切強度幾乎從不被達到。

把取向攤到平面地圖:極射赤面投影

最後一個問題:晶體以某個任意傾角坐在空間裡,而我們想記錄並比較這些傾角,又不必畫笨重的三維盒子。訣竅是用單一一個點來代表每個平面。想像晶體位於一顆地球儀的中心;平面 (hkl) 的法線在球面上穿出一個點,稱為它的極點。整顆晶體的取向於是化成球面上一撒的極點——而要讀它,我們把地球儀攤平。極射赤面投影的做法就像製圖師攤平地球:從每個球面極點向球的另一端極點畫一條線,在它穿過赤道圓盤之處做記號。

這個投影有一項珍貴的性質:它保角。在地球儀上相隔 54.74 度的兩個極點,在平面地圖上量起來仍是 54.74 度(用一張刻度覆蓋圖「吳爾夫網」讀出),所以立方系點積公式算出的每一個角度,都能直接在圖上核對。這就是為什麼極射赤面投影是取向的工作語言——把一顆晶體的方向,跨過晶界比對到鄰晶的方向、描述一個新相如何在舊相上長出、或把一片軋延板材偏好的取向畫成極圖,那正是織構最原始的速記。