從替方向命名，到替晶面命名
在第一篇裡，你學會了沿著晶體「指方向」：挑一個晶向，讀出你在 a、b、c 上各跨了多遠，化成整數，再用方括號包成 [uvw]。這一篇處理晶體幾何的另一半——不是穿過它的一條線，而是橫躺在它裡面的一片平坦原子面，也就是晶格面。晶向告訴你該往哪走；晶面則告訴你原子是疊在哪一疊一疊的板片裡。繞射、滑移與劈裂統統在乎晶面，所以我們得替每一個晶面取個名字。
第一件要注意的事，是單一個晶面從不孤單。因為晶格就是那張無窮的三維壁紙，任何一個穿過某一排格點的晶面，都有一個一模一樣的雙生子在一步之外、再一步之外，如此無盡地延伸下去——一疊等間距的平行薄片，像一座高得沒有盡頭的書櫃裡的層板。所以當我們替一個晶面編號時，其實是一次替一整疊平行晶面貼標籤，而這個標籤不能因為我們剛好站在哪一層而改變。正是這一個要求，逼出了整套方法核心那個聰明的把戲。
配方：截距、倒數、化整
以下就是求一個晶面米勒指數的完整流程。真正的動作只有三步，而中間那個取倒數的步驟，是唯一真正巧妙的地方——先把你對它的疑問按住一段，它馬上就會回本。
- 找截距。讀出晶面與 a、b、c 三軸相交的位置，以晶格常數為單位——所以截距 2 代表沿該邊走了兩個晶胞。與某一軸平行的晶面永遠碰不到它，所以在那軸上的截距是無窮大。（若晶面剛好通過原點，先把原點挪到旁邊一個晶胞就好；反正平行的晶面指數都一樣。）
- 取倒數。把每個截距翻過來：2 變成 1/2、1 還是 1，而且——回本的地方來了——無窮大變成 1/無窮 = 0。就這一個動作，讓惱人的「與某軸平行」情形落在一個乾淨的 0 上，而不是一個沒用的無窮大。
- 化掉分數。把這三個倒數同乘一個整數，使它們全變成沒有公因數的最小整數。把結果用圓括號、不加逗號地包起來：(hkl)。負的指數是在數字上方加一橫（bar），而不是在前面加一個負號。
MILLER INDEXING - intercepts -> reciprocals -> clear fractions
plane crosses axes at reciprocals clear by Miller
a b c ( 1/x ) (hkl)
----- ----- ----- ----------- -------- --------
1 inf inf 1 0 0 - (100)
1 1 inf 1 1 0 - (110)
1 1 1 1 1 1 - (111)
1/2 1 inf 2 1 0 - (210)
2 1 1 1/2 1 1 x2 (122)
1 -1 inf 1 -1 0 - (1bar 1 0)
inf = plane runs PARALLEL to that axis -> reciprocal is 0
1bar = a bar over the 1 means a NEGATIVE index (minus one)
把 (122) 那一列慢慢走一遍，因為只有它需要化整這一步。這個晶面在 a 上交於 2、在 b 上交於 1、在 c 上交於 1。倒數：1/2、1、1。它們不全是整數，於是同乘 2 得到 1、2、2——所以是 (122)。注意個性上的翻轉：最大的截距（a 軸，最遠切在 2）產生了最小的指數（1）。大截距給出小指數，反之亦然。這個反轉不是瑕疵；在下一節裡，它恰恰就是讓米勒指數值得這番功夫的那個性質。
讀懂記法：橫線、大括號，以及為何取倒數
三種括號、三種意思——值得分清楚，因為它們很容易不小心互換。圓括號 (hkl) 命名一個特定的晶面（別忘了，也連帶指整疊與它平行的晶面）。大括號 {hkl} 命名一整個因對稱而等價的晶面族，也就是晶面族。比方在立方晶體裡，{100} 收攏了六個立方體面 (100)、(010)、(001) 及它們的三個負向：那是物理上一模一樣、只因你剛好把座標軸擺成哪個朝向而不同的面。拿它和第一篇的方括號一組對照：[uvw] 是一個方向，<uvw> 是它的整個族。晶面用圓括號與大括號，晶向用方括號與角括號。
數字上方的那一橫，只是晶體學家寫負號的方式，用來讓標籤精簡。所以一個在 a 上切於 +1、在 b 上切於 -1、並與 c 平行的晶面，讀作 (負一 一 零)——那個負一是在數字上加一橫。為什麼不在前面印一個普通的負號？出於習慣與清晰：橫線就落在它自己那個數字上方，於是當三個指數不加逗號擠在一起時，永遠不會搞不清那個符號屬於哪一個指數。
指數暗中編碼了什麼
那三個整數悄悄背負著真實的幾何。有兩件事最要緊。第一，數字的大小反映那一疊的間距：像 (100) 或 (111) 這類低指數，屬於間距寬、原子排得密的晶面；而像 (531) 這類高指數，屬於間距窄、原子稀疏、傾斜成一個彆扭角度的晶面。第二——這是深刻的一點——在立方晶體裡，晶面 (hkl) 恰好垂直於數字完全相同的方向 [hkl]。方向 [111] 就是 (111) 晶面的法線，那支直直戳出來的箭頭。這個俐落的巧合是立方對稱的贈禮，也正是為什麼那套以倒數、以晶面法線為本的記帳法會顯得如此自然。
那一疊的間距甚至有個名字與符號，你在再下一篇就會遇到：晶面間距 d_hkl，也就是 (hkl) 族相鄰晶面之間的垂直距離。晶面間距公式把 (hkl) 連同晶格常數，換算成一個 d 值。而這個數字，就是通往下游一切的橋樑：把大約 2 埃的 d 餵進布拉格定律，配上銅 K-alpha 輻射 lambda = 1.54 埃，第一個繞射峰就落在 theta = arcsin(1.54 / (2 乘 2)) = 22.6 度。所以一個晶面的米勒標籤不只是個名字——它就是繞射儀真正量到的那個座標。
晶面為何值得這些標籤：密度、滑移、劈裂
如果每個晶面都表現得一個樣，這一切就無所謂了，但它們絕對不一樣——這就是異向性，晶體拒絕在每個方向都相同的那個脾氣。數一數某個晶面單位面積裡坐了幾個原子，就得到它的面密度；贏家是密堆積面，那裡的原子像雜貨店金字塔單層裡緊挨著鋪好的橘子一樣彼此相觸。在面心立方裡，那層密堆積面是 {111} 族，堆到約佔晶面面積的 0.91——是這個結構所擁有最密的一片。
這個密度可不是無關緊要的冷知識；它決定了金屬怎麼變形、晶體怎麼斷裂。晶體最容易在它最密的晶面、沿它最密的方向上滑移——那是把厚重地毯滑過去最平滑的地板——所以 {111} 晶面是延性面心立方金屬的主力滑移面。脆性晶體則沿著結合得最弱的那些晶面劈裂，像雲母剝成一片片那樣乾淨地裂開。因為最密、間距最寬的晶面帶有最低的指數，一個晶面的米勒標籤，就是它將如何表現的第一個快速線索。第五篇會把這個計數講精確，並補上晶面之間夾角的公式。
在往上爬之前，先誠實提個但書。這裡的一切都假設了對立方友善的三指數系統，其中三根軸夠對等，使得 (hkl) 表現乾淨。六方晶體打破了那份對稱：它們三個天生的面內方向本是等價的，樸素的 (hkl) 標籤卻把這點藏了起來，於是等價的面反倒得到看起來毫不相干的指數。解法是四指數的米勒-布拉維指數 (hkil)，就等在第三篇。把你剛學到的配方留著——截距、倒數、化整——因為它原封不動地存活下來；第三篇只不過教它一個第四個、冗餘的書籤，好讓對稱的晶面終於看起來也對稱。