為晶格中的箭頭建立定址系統
在上一階,你搭起了單位晶胞,並用晶格參數 a、b、c 把它量了出來,也學會了用分數座標替一顆原子安個家。現在我們做的是相反的工作:不是定位一個點,而是指出一個走向。一個晶向不過就是一支箭——一條穿過晶格畫出的直線——而我們想要一個精簡、毫不含糊的名字來稱呼它。可以把它想成報一個羅盤方位,只不過這裡的三根參考軸(「北、東、上」)正是晶胞的邊 a、b、c 本身。
關鍵的訣竅是:用晶格單位來量。我們把箭頭沿每根軸走了多遠,記成晶胞邊長的倍數,而不是記成奈米。正因如此,這個名字是無量綱、可攜帶的——同一組 [uvw],在 3 埃的晶胞裡與在 30 埃的晶胞裡,標的都是那個走向,甚至在一個各軸並不成直角的傾斜晶胞裡也照樣管用。這最後一點請記牢:那三根軸未必等長,也未必彼此垂直。
讀出 [uvw]:操作步驟
要替任何方向命名,先把箭頭保持平行地滑動,直到它的尾端落在原點,再讀出它的頭端停在哪裡。以下就是這套流程,四個動作。
- 把箭頭保持平行地滑動,直到尾端坐落在晶胞原點——方向沒有固定位置,所以這一步永遠合法。
- 把頭端的座標讀成晶胞邊 a、b、c 的倍數,得到三個數 u'、v'、w'。
- 清掉任何分數,再約去任何公因數,化成最小的一組三個整數 u、v、w。
- 用方括號把它們框起來,中間不加逗號:[uvw]。負的指數在其上加一橫槓表示,例如 [11̄0]。
head (units of a,b,c) reduce [uvw] what it is --------------------- -------------- ---------- -------------------- (1, 0, 0) already ok [100] a cube edge (0, 1, 0) already ok [010] another cube edge (1, 1, 0) already ok [110] a face diagonal (1, 1, 1) already ok [111] the body diagonal (1/2, 1, 0) x2 -> (1, 2, 0) [120] an in-face arrow (1, -1, 0) already ok [1 1bar 0] the other face diag note: "1bar" means minus one, drawn with a bar over the digit.
把第五列慢慢走一遍。一支從原點指到點 (1/2, 1, 0) 的箭帶了分數,所以整組乘 2 得到 (1, 2, 0):這個方向就是 [120]。體心對角線由一角走到對角,(0,0,0) 到 (1,1,1),給出 [111];一條面對角線則是 [110]。還要記得,[111] 與 [222] 會是同一支箭——方向不帶長度,所以我們永遠只留最小的整數。
負號,以及對傾斜晶胞的一則警告
當箭頭沿某根軸倒著走,那個指數就是負的,用頭上一橫槓表示,而不是用減號。所以 [11̄0] 朝 +a 與 −b 而去——正是那條在立方體內與 [110] 直角相交的面對角線。把每個符號都翻轉,[1̄1̄1̄] 便是 [111] 的完全相反:它落在同一條線上,卻指向相反的一端,而這支反平行的箭算作一個真正不同的方向。
還有一件事,留到下一篇再用。初學者很愛「方向 [hkl] 垂直於晶面 (hkl)」這條規則。它確實有用——但只在立方晶體裡成立。在一般情形下,一個晶面的法線並不是那個數字相同的方向,要把兩者理清得動用更上一階才會登場的倒晶格。此刻,就把方向 [uvw] 與晶面的米勒指數 (hkl) 當成兩種各自獨立的語言,它們只在立方這個特例裡恰好重合。
晶向族:<uvw> 括號
在一個高度對稱的晶體裡,許多方向在物理上根本無從區分。在立方體中,邊 [100] 與 [010] 或 [001] 毫無不同——把立方體轉 90 度,一個就變成另一個,沒有任何實驗能把它們分辨開來。晶體學家把所有這種對稱等效的箭收攏成一個晶向族,寫在角括號裡:<100>。[100] 是某一支特定的箭,<100> 則是晶體的點群對稱視為相同的那一整組。
在立方晶系裡,列出一個族很容易,因為你只要把那些數字的每一種排列,配上每一種符號的選擇,通通寫下來即可。<100> 收攏六個立方邊方向([100]、[010]、[001] 及其三個負向);<110> 收攏十二個面對角方向;<111> 收攏八個體心對角方向——四條體對角線與它們的反向。6、12、8 這幾個數字值得記下來。
我們為何在意:堆積、滑移與夾角
方向遠不只是記帳,因為原子沿不同的走向,間距並不相同。數一數一條線每單位長度串起幾顆原子,你就得到它的線密度;而堆得最緊、原子沿線彼此相觸的那些走向,就是最密堆積方向。在一個面心立方金屬裡,這些正是 <110> 面對角線,原子在其上肩並著肩——是整個結構中最緻密的線。
這些最密堆積方向,正是晶體偏好剪切的所在。一條差排沿著最密堆積方向最容易滑移,所以滑移系統——金屬藉以降伏的「晶面加方向」配對——就是由它們構成的:面心立方金屬沿 <110> 滑移,體心立方沿 <111> 滑移。這是一條直線,從我們剛學會寫的指數,一路連到為什麼一種金屬軟、另一種硬——並且,回想鍵結那一階,連到為什麼真實晶體會比完美晶格弱上十到一百倍,因為差排讓滑移一次只推進一排原子,而不是一口氣把整個晶面撕開。
還有兩條線頭,這一階會替你收好。你常會想知道兩個方向之間的夾角;在立方晶體裡,它就是一個單純的內積,cos theta = (u1 u2 + v1 v2 + w1 w2) / (sqrt(u1^2 + v1^2 + w1^2) times sqrt(u2^2 + v2^2 + w2^2))——舉例來說,[100] 與 [110] 給出 cos theta = 1/sqrt(2),也就是 45 度——不過如前所警,這個俐落的形式只適用於立方,一般情形留給第 5 篇。而任何一個方向,都能在對稱那一階學過的極射投影上畫成一個點,即一個極點,晶體的取向就是這樣被記錄下來的。下一篇:我們把同一套指數化的把戲,放到晶面上去。