線周圍的彈性結
到目前為止，這一階都把差排當成一條純粹的線：一個讓柏格斯向量拒絕閉合的地方、一條帶著多餘半原子面的刃、或一條有著螺旋坡道的螺旋。但差排不只是畫在空無中的一條線——它是固體裡的一個結。為了把那片多餘的半原子面塞進去，周圍的原子必須擠讓開，而這一擠，就意味著整片鄰里都被彈性應變了。應變意味著應力，於是每一條差排都拖著一個伸得老遠、進入晶體深處的應力場，遠在那條線本身已看不見之後仍在延伸。這篇裡所有有意思的東西，都從這個場、以及鎖在其中的能量流淌而出。
這兩種純型式各自穿著不同的場。螺旋差排是較整潔的一個：它的場是純剪切，繞著線循環流轉，像水打著旋渦流下排水口，大小為 tau = G b / (2 pi r)，其中 G 是剪切模數、b 是柏格斯向量的大小、r 是你離線的距離。沒有壓扁、沒有拉伸——只有扭。刃差排則坑坑疤疤得多。它那片多餘的半原子面把滑移面上方的原子擠進壓縮、把下方的原子留在拉伸，於是它的場在剪切之外還多了一份膨脹部分（它會改變體積），而它的峰值應力又多帶一個來自帕松比 nu 的因子 1/(1 - nu)。兩種場都只以 1/r 衰減——很慢。正是這緩慢的衰減，讓差排能隔著整片晶體彼此感應。
EDGE DISLOCATION | = extra half-plane pushed in from the top o o o o o o o COMPRESSION (atoms crowded together) o o o | o o o o above the extra half-plane o o o | o o o o -o--o--(_|_)--o--o--o-- <- slip plane; (_|_) marks the edge line o o o o o TENSION (atoms pulled apart) o o o o below the half-plane screw field: pure shear, tau = G b / (2 pi r) (no volume change) edge field : shear + squeeze/stretch, peak ~ G b / (2 pi (1-nu) r) both fall off slowly as 1/r ; inside r ~ 1-2 b lies the CORE, where the atoms are so displaced that linear elasticity gives up
場的代價：線能量與 b 平方規則
儲存那個被應變的場並非免費。若你把彈性能——二分之一乘上應力乘應變——在整片周圍體積上加總起來，就得到線能量：晶體為它容納的每一公尺差排所付出的能量。這個積分從核心半徑 r0 一路積到截斷 R，而由於場以 1/r 變化，每單位長度的能量對螺旋差排約為 (G b^2 / 4 pi) 乘上 ln(R / r0)，刃差排則再除以 (1 - nu)。那個對數很溫和，對真實晶體大約落在 4 pi 附近，於是整件事塌縮成一條值得背下來的經驗法則：每單位長度的能量約為 G b^2 / 2，上下差個兩倍。
拿銅來把真實數字代進去。銅的剪切模數約為 G = 48 GPa，而它的柏格斯向量是最短的晶格平移，b = a/2 沿 <110>，|b| = a / sqrt(2) = 0.36 nm / 1.41 = 0.26 nm。於是線能量約為 (1/2) 乘 48 x 10^9 Pa 乘 (0.26 x 10^-9 m)^2，算出來大約是每公尺 1.6 x 10^-9 J——每公尺一點五個奈焦耳。乘上一個原子間距的長度，你會得到每一個原子列的差排大約 2 到 4 電子伏特。一條差排是真的昂貴：這正是為何完美晶體在平衡時一條都不含，也是為何你找到的那些，都是在生長或變形過程中被硬塞進去的。
留意能量取決於什麼：b 平方，其他幾乎什麼都不取決。這單單一個事實——b^2 規則——支配了整門學問中出奇多的部分。因為代價按 b^2 縮放，晶體永遠選擇最短的柏格斯向量，這正是為何真實滑移會沿著重複距離最小的密堆積方向進行。它也意味著：一條每單位長度背著這麼多能量的差排，行為就像一根被拉緊、線張力約為 G b^2 / 2 的彈性弦：它抗拒被拉長、力求筆直、並在應力下像吉他弦一樣弓出——正是這弓出，被第 5 篇轉化為那個會增殖差排的法蘭克-里德源。而當兩條差排能併成一條、且總 b^2 更小時，它們就會併；那筆能量帳就是法蘭克規則，同樣在第 5 篇等著。
晶格摩擦：派爾斯-納巴羅應力
第 3 篇給出了那句誠實的頭條：滑移的差排讓晶體一次只剪一列，於是真實金屬比完美晶格的理論剪切強度（約為 G/10）弱了 10 到 100 倍。但即使是一塊一塵不染的晶體，路上沒有別的差排也沒有雜質，也不會讓差排完全免費地滑移。當核心向前滑動時，它必須一次一個原子重複地翻越晶格自身能量地景的週期性丘壑。把它推過每一座小丘所需的那點小應力，就是派爾斯-納巴羅應力——晶體固有的晶格摩擦，是在移除其他一切障礙之後仍殘留的、對滑移與生俱來的抵抗。
這個模型給出一條驚人的公式：tau_PN 約為 (2G / (1 - nu)) 乘 exp(-2 pi w / b)，其中 w 是差排核心的寬度，大致等於滑移面的面間距 d 除以 (1 - nu)。那個指數就是整個故事。一個又寬又攤開的核心——它的錯配被抹散在許多原子上——會讓 2 pi w / b 變大，於是指數極小、摩擦微不足道。寬核心來自間距寬的滑移面，而間距最寬的正是那些密堆積面。這就是為何像銅、鋁、金這些面心立方金屬如此柔軟的深層原因：它們的密堆積滑移給出一個胖核心，派爾斯應力低到 G 的 10^-4 到 10^-5 左右，小到差排即使在寒冷中也能自由滑移。
現在把它反過來。在像矽或鑽石這樣的共價鍵晶體裡，以及在體心立方過渡金屬裡，鍵剛硬又有方向性，核心又窄又緊實。這把指數壓低、把派爾斯應力推高，達到 G 的 10^-2 到 10^-3 左右——高出數百倍。窄核心對溫度也極為敏感，因為熱振動能藉由成核出小小的扭折對，幫助那條線翻過派爾斯丘壑；把它冷下來，這份幫助就消失。這正是為何體心立方的鐵有延性-脆性轉變（暖時柔軟、冷時如玻璃般脆），而矽的差排在室溫下幾乎凍結，使它變脆。不過要誠實：派爾斯-納巴羅公式是一幅一維的漫畫，它的精確數字需要原子尺度的計算。它抓對且抓得牢的，是那個趨勢——把核心攤寬，滑移就容易；把它捏窄，晶體就變強、又對溫度挑剔。
攀移：吃掉空位的那步
上面的一切都關乎滑移——差排在它的滑移面內滑動，這守恆物質（沒有原子被創造或毀滅，所以在任何溫度都能發生）。但刃差排還有第二種、更狡猾的移動方式：垂直於滑移面，靠讓它那片多餘半原子面生長或收縮。這就是攀移，它是非守恆的——只能靠把原子搬進搬出來進行，這意味著它需要點缺陷的供應。要讓半原子面後退一個原子列，沿它下緣的那些原子必須剝離、消失進路過的空位裡；要讓它前進，那條邊緣就必須捕獲原子（等價地說，就是吐出空位）。一條純螺旋沒有半原子面可長，所以它根本無法攀移——攀移是刃差排專屬的把戲。
- 一個空位藉熱擴散遊蕩而來，抵達那片多餘半原子面的下緣。
- 位在該邊緣的一個原子跳進那個空位，於是半原子面失去它最底的原子，空位被消滅。
- 半原子面的邊緣——那條差排線——如今向上移了一個原子面，離開了它原來的滑移面。這就是一單位的攀移。
- 由於空位沿線在不同的點、於不同的時刻抵達，攀移通常進行得不均勻，沿著差排留下一些叫做割階的小台階。
麻煩在於空位。晶體只有在接近熔點時才帶有可觀數量的空位（它們的濃度以 exp(-E/kT) 攀升），而它們也只能藉空位媒介的擴散移動，那本身就既遲緩又需熱激發。所以攀移是個熱過程：在冷處微不足道，只有在大約 0.4 倍熔點溫度以上才重要。單單這一條限制，就劃出了兩整套行為模式的分界。在寒冷的低處，差排只能滑移，於是一個障礙就把它們攔死、令它們堆積。在炎熱的高處，它們能攀移繞過障礙，正負號相反的刃也能一起攀移而互相消滅——這正是為何熱金屬在負載下會緩慢潛變，也是為何退火能藉由讓糾纏的差排攀移、相遇、抵消，來軟化一塊冷加工過的金屬。
讓場派上用場
退一步看，這四個概念便扣合成一幅「真實晶體如何表現」的完整圖像。長程的 1/r 應力場意味著差排從不真正孤單：同一平面上同號的兩條互斥、異號的相吸並互相消滅，而隨著變形把越來越多的線塞進晶體——那些應力場重疊得越來越密——它們的相互排斥使得每一條都更難推動。這一言以蔽之就是加工硬化，而它的帳就記在差排密度上，也就是每單位體積的總線長，它從退火金屬裡約 10^10 每平方公尺，攀升到重度加工後的 10^15 甚至更高。線能量設定了哪些滑移系統與反應勝出的貨幣（b^2）；派爾斯應力設定了強度的固有下限；攀移則決定什麼能癒合、以及何時癒合。
b^2 規則也為下一篇埋下了種子。若把一條差排拆成兩條不全差排能降低總 b^2，能量就說它該拆——而它確實會拆，攤開成一條疊差帶，其寬度由疊差能決定。同時，我們在這裡遇到的那股線張力，在應力下把一段被釘住的線弓出來，正正就是那個能讓單一差排孵出成千上萬條的法蘭克-里德源。不全差排、疊差帶、法蘭克-里德增殖，恰恰是第 5 篇接下來要去的地方——它們每一個，都是你如今手握的那本 b^2 能量帳簿上的一筆記帳動作。