一個為差排留下指紋的向量
在第一篇裡,你以圖像認識了線缺陷的三張臉:塞進一片多餘半平面的刃差排、帶著螺旋停車場斜坡的螺旋差排,以及兩者調和的混合差排。圖像是很好的起點,但要推理、要計算,你需要一個量。那個量就是柏格斯向量,寫作 b。把它想成一個精確的步伐——差排一側的晶體,相對於另一側被推移了多遠、朝哪個方向。它就是差排已經完成的那份滑移,被凍結、被壓進一條線的寬度裡。
向量 b 與差排線行進的方向之間,有一個漂亮而簡單的關係。那個方向我們稱為線方向,並用單位向量 t(沿著線的切線)來寫。對純刃差排而言,b 垂直於 t——多餘的半平面橫著推過那條線。對純螺旋差排而言,b 平行於 t——斜坡沿著那條線盤旋而上。混合差排則落在兩者之間的任一角度,而它在每一點的「性格」,不過就是 b 與 t 之間的夾角。所以 b 與 t 合起來,就是一條差排完整的遺傳密碼:把這兩個向量給我,我就能告訴你它是刃還是螺旋、它會朝哪個方向滑動,以及它儲存了多少能量。
有一個關鍵事實,你會一再倚靠它:沿著一條給定的差排線,b 處處相同。那條線可以彎折、捲曲、變換性格——這裡是刃、那裡是螺旋、之間是混合——但它的柏格斯向量始終一模一樣。線一彎,變的是 t,不是 b。單獨一個閉合的差排環,在相對的兩段弧上是刃、在另外兩段上是螺旋,卻全都共用同一個不變的 b。請牢牢記住這一點;接下來幾乎每一條規則,其實都是這個事實的化身。
柏格斯迴路:走一圈把 b 量出來
那麼,對一條真實的差排,你到底怎麼把 b 釘下來?你繞著它走一圈,數原子步伐——這就是柏格斯迴路,而且它妙在極為具體。從差排線附近某個原子出發,一格一格地從原子跳到原子,比方說向右五步、向上五步、向左五步、向下五步。繞著一片無缺陷的晶體,這個迴路完美閉合:你回到了出發的那顆原子。可是把同一個迴路穿過一條差排,奇妙的是,它在真實晶體裡仍然閉合——你總能一路沿著原子走回家。訣竅出在:當你把一模一樣的步伐序列,拿到一個完美的參考晶格裡重播時,會發生什麼。
在完美的參考晶體裡,那個重播的迴路不會閉合。它在離出發點差一個晶格步伐之處收尾,而你若要從終點(Finish)回到起點(Start)所需走的那個小向量,恰恰就是 b。那道缺口就是閉合失效,它就是整個量測本身:沒有缺口,表示你沒圈住任何差排;缺口為一個晶格平移,表示你圈住了一條差排,其柏格斯向量就是那個平移。這正是為什麼,對一條完美(或稱「全」)差排,b 永遠是一個貨真價實的晶格向量——遠離差排線的原子,在缺陷通過之後必須重新織回毫無瑕疵的對位,而唯有一個完整的晶格平移向量,才會讓周遭看起來絲毫未動。
THE BURGERS CIRCUIT (RH / FS convention)
STEP A -- in the REAL crystal, loop atom-to-atom around the line,
equal step-count each way. It CLOSES -- you get home.
. . . . . . .
. +->->->+ . . right-handed loop:
. ^ v . . thumb along line sense t,
. ^ _|_ v . . fingers curl this way
. ^ T v . . _|_ , T = extra half-plane
. +<-<-<-+ . . of an EDGE dislocation
. . . . . . . (line points out of page)
STEP B -- replay the SAME step sequence in a PERFECT crystal.
Now it does NOT close: a one-lattice-step gap is left.
S = Start F = Finish
F <---gap---- S
|____| = b ( Finish -> Start = b )
For an FCC metal: b = (a/2)[110] , |b| = a / sqrt(2)
Cu: a ~ 3.6 A -> |b| ~ 2.55 A為什麼 b 是最短的晶格向量
並不是每個晶格向量,都同樣樂於當柏格斯向量。一條差排在它周圍受應變的晶格裡儲存彈性能,而在極佳的近似下,那份儲存的線能量正比於柏格斯向量的平方:每單位長度的能量大約是 (1/2) G b^2,其中 G 是剪切模數。平方是關鍵。它意味著 b 短的差排很便宜,而 b 長的差排則貴得不成比例。大自然一向省儉,壓倒性地偏好可用的最短晶格平移——在密堆積金屬裡,那就是沿著密堆積方向的向量,也就是原子彼此靠得最近之處。
在銅或鋁這樣的 FCC 金屬裡,替它填上真實的數字。最短的晶格平移是 (a/2)[110],沿著面對角線在相觸的原子之間穿行;它長度的平方是 b^2 = (a/2)^2 乘 (1^2 + 1^2 + 0^2) = a^2/2。拿一條假想中攜帶完整立方邊向量 a[100] 的差排來比,它的 b^2 = a^2。立方邊向量要付出面對角線向量兩倍的能量,所以 FCC 晶體根本懶得理會 a[100] 差排——(a/2)[110] 這一型勝出,而它正是讓一個密堆積平面滑過另一個平面的那個向量。這不是巧合;這正是為什麼 FCC 金屬的滑移系統是 {111} 平面沿 <110> 方向滑動,也就是下一篇的主題。
同一套 b^2 的帳,也驅動一個更微妙的動作,你會在第五篇遇到它。有時一條差排會藉由分裂成兩條柏格斯向量更短的部分差排,把能量降下來,並在兩者之間拖出一條疊差帶。在 FCC 裡,(a/2)[110] 可以分解成兩條 (a/6)<112> 型的部分差排;算一算,左邊的 (a^2/2) 大於右邊的 2 乘 (a^2/6) = a^2/3,所以這個分裂確實划得來。這套「能量對 b^2」的記帳,正式化之後就是弗蘭克規則(當 b^2 的總和下降時,反應才有利),它是預測差排會做什麼事最有用的一件工具。
差排線不能在晶體內部終止
這裡有一條關於線缺陷最深刻、也最有用的規則,而它直接從柏格斯迴路裡掉出來。一條差排線不能就這麼在一個原本完美的晶體正中央某一點停下。想像一下為什麼:假設那條線真的在某處終止了。在那個假想端點的一側,繞著線畫一個小柏格斯迴路——你圈住了線,於是量到閉合失效 b。現在把同一個迴路滑過那個端點到另一側,依假設那裡沒有線——你應該什麼也沒圈住,量到零。但你沒辦法讓迴路不跨過線,就把閉合失效從 b 平滑地變成零;晶體得撕裂才行。所以一個憑空漂浮的斷頭,是被禁止的。
既然一條線不能在塊體內部終止,那麼每一條差排就只能做三件事之一:自己閉合成一個環、一路跑到自由表面或晶界、或在一個節點與其他差排相遇——好幾條線在那裡交會。在這樣的節點上,柏格斯向量遵守一條守恆律,恰如導線的克希荷夫電流定律:把所有線都取為指向節點時,柏格斯向量總和為零。這其實又只是「b 沿著一條線守恆」,如今用到線分岔之處——一個繞著整個節點的大迴路圈住了一切,它讀出的值,必須等於繞著每一分支的小迴路之和。
把 b 與 t 合起來讀,以及它通往何處
- 沿著差排定下一個線方向 t,並在整個分析裡從一而終地守住它。
- 在真實晶體裡繞著線走一個右手柏格斯迴路,讓它閉合。
- 在完美參考晶格裡重播一模一樣的步伐;由終點到起點的缺口就是 b。
- 把 b 與 t 相比:b 垂直於 t 是純刃、b 平行於 t 是純螺旋,之間任何角度都是混合。
- 大小 b^2 給出線能量,並驅動反應的弗蘭克規則;同時含有 b 與 t 的那個平面,就是這條線能滑動其上的滑移面。
最後那一步藏著一個值得點名的可愛細微處。對刃差排而言,b 與 t 垂直,於是它們定出唯一一個平面——刃差排恰好只有一個能滑動的平面,而且只能認命地待在上頭。對螺旋差排而言,b 與 t 平行,於是它們根本定不出唯一的平面;任何含有這條線的平面都算數,因此螺旋差排能從一個平面交叉滑移到另一個平面——這份自由,對金屬如何加工硬化影響極大。同一個 b,一面決定能量,一面又透過它與 t 的夾角,決定了差排有多麼放蕩不羈。
把 b 握在手裡,你如今就掌握了通往整個階段的量化鑰匙。在第三篇裡,同一個向量解釋了為何滑動的差排能讓晶體一次只剪斷一排鍵,於是真實金屬竟比毫無瑕疵的晶格弱上 10 到 100 倍。在第四篇裡,它定下彈性應力場,以及線要移動就得克服的派爾斯晶格摩擦。而在第五篇裡,它主宰 b 如何分裂成部分差排、法蘭克–里德源又如何增殖線。這每一則故事,說到底,都是關於一個小小的向量、以及你為量它而畫下的那個迴路的故事。