方向與平面：米勒指數

晶體內部的地址系統

在這一階裡，你已經認識了單位晶胞、學過三種金屬結構面心立方（FCC）、體心立方（BCC）與六方最密堆積（HCP），也算過它們的堆積與密度。那些告訴你原子如何安坐。但一種材料的許多行為，取決的並不是它怎麼堆，而是「你往哪個方向看」：金屬沿某些特定方向最容易滑動、沿另一些方向最剛、又會從某些特定的平面組反射 X 光。要談這些，我們得先有一套辦法，替晶胞「內部」的方向與平面命名。

訣竅就像在城市地圖上鋪一張方格紙。沿單位晶胞的三條邊放上三軸 x、y、z，但用一個聰明的單位量距離：每一軸都以「晶胞邊長」（a、b、c）為刻度，而不是以奈米為刻度。於是一個角落落在 0，對角落在 1，晶胞正中央則在 (1/2, 1/2, 1/2)。無論研究哪種材料，每位晶體學家都用這同一本分數座標的通訊錄——正是這一點，讓一筆銅的結果和一筆矽的結果能用同一種語言寫下來。

替方向命名：[uvw]

方向不過就是一支箭。要把它化成三個數字——它的晶向指數——你把箭平移到從某個角落出發，讀出箭頭落在哪裡，再把結果整理乾淨。步驟很短、很機械。

把箭平移，讓箭尾落在原點（晶胞的一個角落）。方向可以自由平移，所以這一步永遠合法。
以 a、b、c 為單位，讀出箭頭的座標——例如面對角線的 (1, 1, 0)。
把分數消掉，化簡成最小的一組整數（於是 1/2, 1/2, 1 變成 1, 1, 2）。
把這三個整數放進方括號、不加逗號：[uvw]。負值加一橫（此處以負號表示）。

有幾個一眼就懂。立方體的一條邊是 [100]。一條面對角線是 [110]。從一角連到對角的體對角線是 [111]。那條 [110] 面對角線可不是隨便一支箭——在面心立方金屬裡，它就是最密方向，也就是原子真正互相接觸的那條線（回想堆積那篇：沿面對角線，4R 等於 a 乘以根號 2）。因為立方體如此對稱，[100]、[010]、[001] 及它們的負向，在物理上全是同一種方向；我們把它們打包成一族 <100>。

關於「族」有個要誠實交代的但書：[100]、[010]、[001] 之所以等效，「是因為」立方體對三軸一視同仁。在被拉長或歪斜的晶胞裡——正方、斜方、六方——三軸不再能互換，於是三個數字相同的方向，未必等效。決定誰屬於同一族的，是對稱性，而不是那幾個數字。

替平面命名：倒數的訣竅 (hkl)

平面比較難，因為一個平面可以朝各個方向傾斜。米勒（William Miller）想出的巧妙解法，是不用平面「在哪裡穿過各軸」來描述它，而是用那些穿越點的「倒數」。這些就是米勒指數 (hkl)，步驟同樣很短。

以 a、b、c 為單位，找出平面穿過 x、y、z 三軸的位置。若平面正好通過原點，先把原點移到相鄰的角落。
取每個截距的倒數。一個永不穿越某軸（也就是與該軸平行）的平面，截距為無限大，其倒數正好是乾淨的 0。
把分數消成最小的整數。
放進圓括號：(hkl)。不加逗號；負值加一橫（此處用負號）。

  plane     intercepts (a, b, c)     reciprocals        Miller (hkl)
  ------    --------------------     -----------        ------------
  (100)     1,   inf, inf            1,  0,  0            (100)
  (110)     1,   1,   inf            1,  1,  0            (110)
  (111)     1,   1,   1              1,  1,  1            (111)
  (200)     1/2, inf, inf           2,  0,  0            (200)

  inf = plane is parallel to that axis -> reciprocal is 0

四個常見的立方晶面。注意 (200) 與 (100) 平行，卻在 1/2 處穿過 x 軸，因此它命名的是一組間距只有一半的平面——這也是繞射能把兩者分辨開來的原因。

到底為什麼要繞倒數這一圈？有兩個理由讓它值得。第一，與某軸平行的平面永遠不穿過它，而無限大是個難用的標籤——它的倒數 0 卻不是。第二，這種標籤對「間距不同的平行平面」仍然有意義：(100)、(200)、(300) 全都平行，但 (200) 位於一半的間距、擁有自己的名字，而這在 X 光登場的那一刻至關重要。而且，平面也和方向一樣有對稱族：在立方體裡，大括號 {100} 就把六個立方面收攏成同一組。

線密度與面密度——最密堆積面

現在，這些指數開始物盡其用了。一旦你能替一條線或一個平面命名，就能數它有多擁擠。線密度是沿某方向的「單位長度原子數」；面密度是某平面上的「單位面積原子數」。兩者都不過是「頭數除以尺寸」，也都告訴你晶體在哪裡堆得最密。

以 FCC 的 [110] 方向為例。面對角線的長度是 a 乘以根號 2，沿線串起兩端各半顆原子、加上面心的一整顆——總共兩顆。由於 4R 等於 a 乘以根號 2，線密度算出來是 2 除以（a 乘以根號 2），也就是 2 除以 4R，即 1 除以 2R。這是一條線能達到的最密：原子首尾相接、擠得滿滿。把這個念頭往上抬一維，FCC 的 (111) 平面正是整個結構中最擁擠的那個平面，而它恰恰是由這些最密的 <110> 方向縫合而成。

對另外兩種結構要誠實。BCC 根本沒有真正的最密堆積面——它 0.68 的堆積係數不及 FCC 的 0.74——所以它最密的 {110} 只是「現有的最佳選擇」，而它的最密方向是體對角線 [111]，那裡 4R 等於 a 乘以根號 3。HCP 確實有一個貨真價實的最密堆積面，也就是平坦的基面，但六方晶胞夠麻煩，得動用四個指數 (hkil)，其中多出來的那個由 i = -(h + k) 固定。把這條主線放在眼前：哪些平面最密，正是決定金屬會在哪裡變形的關鍵——下一階談滑動，靠的就是這一點。

為什麼這些指數不白學：剛性、滑動與 X 光

第一項回報：性質隨方向而異，也就是異向性。一塊單晶在各個方向上並不相同。BCC 鐵是個鮮明的例子：在同一塊晶體上量測，沿 [100] 拉伸時它的楊氏模數約 125 GPa，沿 [111] 拉伸卻約 275 GPa——剛性多了一倍有餘，同一塊鐵，只是換了方向。體對角線就是把鍵堆得更密，因此更抗拉伸。正因為我們能替 [100] 與 [111] 命名，才有辦法陳述這樣一件事實。

第二項回報：滑動。金屬彎折，靠的不是一次拉伸每一根鍵，而是平面滑過平面，而發生滑動的那個平面，幾乎總是「最密的平面沿最密的方向移動」——這樣的配對，我們稱為滑動系統。這正是為什麼 FCC 的 (111)/<110> 組合讓銅和鋁如此有延性：那個擁擠的平面，替滑動提供了一條平順、低門檻的通道。替平面與方向命名，就是讓我們能夠事先預測晶體會在哪裡降伏。

第三項回報：看見原子。X 光會從一整族 (hkl) 平面反射，而每一族都有自己的面間距 d——對立方晶體而言，d 等於 a 除以根號 (h^2 + k^2 + l^2)。射入一道光束，量出反射突然增強的角度，布拉格定律就把那些 d 值交到你手上，再從中推得結構本身。這正是下一篇的全部主題——而它之所以行得通，正因為晶體裡的每個平面，早就都有了名字。