單位晶胞早已回答的兩個問題
上一篇我們把原子釘在一個重複單位晶胞的角、面與中心上，認識了三種金屬結構：FCC、BCC 與 HCP。那告訴我們原子「坐在哪」。但結構不只是座位表——同樣幾顆原子，可以擠得密實，也可以留得寬敞；每顆原子可以緊貼許多鄰居，也可能只碰到少數幾個。這兩件事——堆積的緊密度與鄰居的數目——悄悄掌管著剛性、延性與密度。好消息是：一旦有了單位晶胞，兩者都是純幾何推出來的，不必做實驗。
我們替各自取個名字。配位數就是一顆原子碰到多少個最近鄰居。原子堆積因子（APF）則是單位晶胞體積中真正被原子填滿的比例——前提是把每顆原子想成半徑 R 的硬球。兩者都是你能手算的無因次數，也都直接源自球是怎麼疊起來的。我們就從「疊」這個概念把它們建起來，因為那幅圖像會解釋為什麼 FCC 與 HCP 並列為自然界所能達到的最緊密堆積。
配位數：你牽著幾隻手？
想像蔬果店老闆在疊柳橙。最整齊的方式是鋪第一層，讓每顆柳橙都窩進另外三顆之間的凹處，再把下一層放進上方的窪坑。在這種最密堆積的堆疊裡，每顆內部柳橙都碰到同層的六顆、上層的三顆、下層的三顆——總共十二個鄰居。這是任何等大球體所能達到的上限，也正是 FCC 與 HCP 金屬的配位數：12。銅、鋁、鎳、鎂、鈦都住在這個擁擠的最佳點上。
那麼 FCC 與 HCP 都達到 12，差別在哪？只在那些最密堆積層的「疊放順序」。把三種可能的層位置叫作 A、B、C。HCP 重複 A-B-A-B，每隔一層就正對回第一層；FCC 重複 A-B-C-A-B-C，先錯開到第三個位置才繞回來。鄰居數相同、緊密度相同，卻是兩種不同的節奏——這就是為什麼它們密度相近，受力時卻表現不同。像 α 鐵、鉻、鎢這類 BCC 金屬「不是」最密堆積：中心原子只碰到八個角原子，所以配位數為 8。真實金屬中罕見的簡單立方，則只有 6。
原子堆積因子：多少是原子，多少是空氣？
即使配位數達到 12，硬球也填不滿整個空間——球與球之間永遠有縫隙。原子堆積因子量的正是這件事：APF =（晶胞內原子的體積）/（晶胞的體積）。拿 FCC 來算算看。晶胞含 n = 4 顆原子（八個角各分八份得 1，加六個面各分兩份得 3）。原子沿「面對角線」相碰，所以 4R 等於 a 乘以根號 2，也就是邊長 a = 2 乘 sqrt(2) 乘 R，約 2.83 R。於是 APF =［4 乘 (4/3)pi R^3］/ a^3 算出來是 pi /（3 乘 sqrt(2)）= 0.74。將近四分之三是實心、四分之一是空的——這是可能的最緊密堆積。
同一套做法能替每種結構打分。HCP 同樣得 0.74——不意外，它也是最密堆積。BCC 有 n = 2 顆原子，球沿「體對角線」相碰（4R = a 乘 sqrt(3)），把邊長放寬成 a = 4R / sqrt(3)；一算，APF = 0.68。簡單立方只有 0.52。所以排名是 FCC = HCP（0.74）> BCC（0.68）> 簡單立方（0.52）。留意先數鄰居的好處：配位數愈高，堆積因子也愈高，因為緊貼更多鄰居，換個說法就是擠掉了更多空隙。
STRUCTURE atoms/cell spheres touch edge a coord. no. APF examples
--------- ---------- -------------- ------------- ---------- ----- ----------------
simple 1 cube edge a = 2R 6 0.52 polonium (rare)
BCC 2 body diagonal a = 4R/sqrt(3) 8 0.68 alpha-Fe, Cr, W
FCC 4 face diagonal a = 2 sqrt(2) R 12 0.74 Cu, Al, Ni, gamma-Fe
HCP 6 (hex cell) close-packed c/a ~= 1.633 12 0.74 Mg, Ti, Zn
APF = (n atoms x volume of one sphere) / (unit-cell volume)
= [ n x (4/3) pi R^3 ] / a^3從幾何到公克：理論密度
精彩的地方來了。只要知道結構，你就知道一個晶胞裡的質量與一個晶胞的體積——於是還沒秤重，就能預測材料的理論密度。公式是 rho =（n 乘 A）/（Vc 乘 NA）：n 是每晶胞原子數，A 是以每莫耳公克計的原子量，Vc 是晶胞體積，NA 是亞佛加厥數，6.022 乘 10^23 每莫耳。分子是「一個晶胞裡有多少東西」，分母是「一個晶胞佔多少空間」。相除，就掉出以 g/cm^3 為單位的密度。
- 銅是 FCC，先數原子：每晶胞 n = 4。
- 由半徑求邊長。FCC 沿面對角線相碰，所以 a = 2 乘 sqrt(2) 乘 R；代入 R = 0.128 nm 得 a = 0.362 nm = 3.62 乘 10^-8 cm。
- 立方求晶胞體積：Vc = a^3 =（3.62 乘 10^-8 cm）^3 = 4.75 乘 10^-23 cm^3。
- 代入 A = 63.5 g/mol 與 NA：rho =（4 乘 63.5）/（4.75 乘 10^-23 乘 6.022 乘 10^23）= 254 / 28.6 = 8.89 g/cm^3。
- 與現實對照：實測的銅是 8.96 g/cm^3。誤差約 1% 以內——這是純幾何做出的、真正有預測力的結果。
同樣的原子，不同的堆積：多形性
既然密度源自結構，一種元素若能採用兩種結構，就能有兩個密度——這叫多形性（純元素時稱為同素異形）。鐵是頭號例子。912 度 C 以下它是 BCC 的 α 鐵（肥粒鐵），APF 0.68；加熱超過 912 度就翻成 FCC 的 γ 鐵（沃斯田鐵），APF 0.74。反直覺的一記在這裡：升溫通過那個點時，鐵反而「收縮」約 1%，因為更緊的堆積壓過了熱膨脹。一塊金屬被加熱竟然縮小，純粹因為原子重新疊得更有效率——而這場重新堆疊，正是日後整個鋼鐵熱處理所倚重的相變。
碳把這一點演示得更戲劇化。同樣的碳原子，可以蓋出鑽石——一個剛硬的三維共價網絡，密度 3.51 g/cm^3，最硬的天然材料；也可以蓋出石墨——彼此弱弱疊在一起的平坦薄片，密度只有 2.25 g/cm^3，軟到能塗在紙上當鉛筆芯。原子完全相同；光是堆積，就從又硬又密橫跨到又軟又鬆。這一句對照就是本階梯的整個論點：寫下性質的是結構，不只是成分。
繼續之前，兩個誠實的但書。第一，硬球 APF 是一個模型：真實原子不是剛硬的撞球，而真實的一根棒子量起來總比理論值「略低」，因為它帶著空孔、孔隙與缺陷——銅那 8.89 對 8.96 的差距，一部分正來自此。第二，我們為配位數與 APF 所援引的最密堆積「面」，也正是金屬最容易滑移、變形的面；替這些面命名並編號，是下一篇米勒指數的工作，這幅幾何從那裡開始在力學行為上兌現價值。