混合律與載荷傳遞

分擔載荷：兩種材料之間的一筆交易

到現在，你已經從第 1、2 篇學會了複合材料這筆交易：一個柔軟、不起眼的基材把一切黏在一起、保護表面、並把力傳遞出去；而一個剛硬、強韌的強化材才真正扛起大部分的力——混凝土裡的鋼筋、泥巴裡的稻草，各自補上對方的短處。本篇要回答設計者接著會問的問題：把已知量的剛硬纖維放進已知的基材裡，結果會有多剛、多強？很美妙的是，你只用初學者也會的算術就能預測——這就是混合律——只要你尊重它成立的地方，也認得它失效的地方。

整個計算所依賴的那一個數字，就是體積分率——複合材料的體積裡有多少份是纖維。纖維寫成 Vf、基材寫成 Vm；既然沒有別的東西，Vf + Vm = 1。一個 60% 纖維的疊層（航太碳纖維的典型值）就是 Vf = 0.6、Vm = 0.4。底下所有的式子，不過是拿這兩個分率去替兩種材料的性質加權而已。但要小心你用的是哪一種分率：混合律要的是「體積」分率，不是「重量」分率；而因為碳比環氧樹脂輕，這兩個數字並不相等。

並聯的彈簧：等應變上界

沿著纖維方向去拉一個纖維複合材料。因為纖維與基材黏在一起，它們被迫伸長相同的量——它們共用同一個應變。這就是等應變條件，要記住的畫面是：一條剛硬的鋼纜和一條柔軟的橡皮筋並排夾住、一起被拉——兩根並聯的彈簧。並聯的彈簧，剛度相加。誰比較剛，誰就分到比較大的一份力，但兩者感受到的伸長完全一樣。

把力加總起來，縱向的剛性混合律就掉出來了：Ec = Vf 乘 Ef + Vm 乘 Em。複合材料的楊氏模數，就是纖維與基材的模數，各自用體積分率加權。拿那個 60% 碳／環氧來試，取 Ef = 230 GPa、Em = 3 GPa：Ec = 0.6 乘 230 + 0.4 乘 3 = 138 + 1.2 = 139 GPa。剛硬的纖維主宰得如此徹底，以致基材的貢獻（1.2 GPa）幾乎察覺不到。事實上，纖維扛下的載荷比例是（Ef 乘 Vf）／（Em 乘 Vm）= 138／1.2 = 大約 115 比 1——纖維承擔了大約 99% 的力，基材幾乎為零。

串聯的彈簧：等應力下界

現在把載荷轉 90 度，橫過纖維去拉。這下力必須依序穿過纖維與基材，像一串剛與軟交錯的鏈環——串聯的彈簧。串聯的彈簧共用同一個力，所以兩相感受到相同的應力（等應力條件），但它們伸長的量天差地別：軟的基材伸得很多，剛的纖維幾乎不動。而正如最弱的一環主宰整條鏈，「最軟」的那一相主宰了柔量。剛硬的纖維現在幾乎派不上用場。

因為柔量（剛度的倒數）在串聯時相加，橫向的混合律是一個倒數和：1/Ec = Vf/Ef + Vm/Em。把同一個 60% 碳／環氧代進去：1/Ec = 0.6/230 + 0.4/3 = 0.0026 + 0.133 = 0.136，所以 Ec = 約 7.4 GPa。停下來盯著這個看。「同一種材料」、在「同樣 60% 纖維」下，沿纖維方向是 139 GPa，橫過去卻只有 7.4 GPa——一個方向比另一個方向剛了將近 19 倍。這道落差不是缺陷；它就是異向性，而刻意拿它來做設計，正是第 5 篇整篇的功夫。

RULE OF MIXTURES  --  CFRP: 60% carbon fibre (Ef = 230 GPa) in epoxy (Em = 3 GPa)

  loading          model           formula                    Ec
  --------------   -------------   ----------------------     -------
  LONGITUDINAL     springs in      Ec = Vf x Ef + Vm x Em     139 GPa   upper bound
  (along fibres)   PARALLEL         = 0.6(230) + 0.4(3)                  (isostrain)

  TRANSVERSE       springs in      1/Ec = Vf/Ef + Vm/Em       7.4 GPa   lower bound
  (across fibres)  SERIES           = 0.6/230 + 0.4/3                    (isostress)

  Same material, same 60% fibre  ->  ~19x stiffer ALONG than ACROSS.
  The two formulas BRACKET reality: any other fibre arrangement lands between them.

混合律的兩條界限。等應變（並聯）是沿排列纖維方向所得的剛硬上界；等應力（串聯）是橫過纖維所得的柔軟下界。真實的複合材料——短切、編織、或帶角度的纖維——總是落在這兩條線之間的某處。

載荷傳遞：一根纖維究竟怎麼被加載

等應變的說法悄悄假設了纖維是「連續的」——從夾具一端不斷地跑到另一端。但大多數真實複合材料用的是短切、有限長度的纖維，而短纖維有個麻煩：它的兩端完全不承載。力不會憑空跳到纖維上；它必須由基材透過界面上的剪應力遞交過去，就像你用手抓一條繩子。你只能用你手的握力那麼大的勁去拉繩子，而很短的一端就只是滑掉。因此張力是從每個纖維端點往內逐漸累積起來的，只有夠長的纖維，它的中段才會被加載到纖維本身的斷裂強度。

抓握：複合材料被拉時，黏合的基材拖住纖維的表面——沒有黏合，就沒有傳遞。
界面剪切：較軟的基材想伸得比剛硬的纖維多，於是它對著纖維剪切，把張力灌進纖維裡。
累積：纖維的張力從每個尖端的零開始，沿著一段傳遞長度往內爬升。
平台：若纖維夠長，中段就達到完整的纖維強度、真正出力；若不夠長，它處處都被閒置。

中點剛好達到完整纖維應力的最短纖維，就是臨界纖維長度，lc =（纖維強度乘直徑）／（2 乘界面剪切強度）。代入數字：一根強度 4000 MPa、直徑 0.010 mm 的纖維，黏在一個剪切強度 50 MPa 的界面上，得 lc =（4000 乘 0.010）／（2 乘 50）= 40/100 = 0.4 mm——大約是 40 倍纖維直徑。遠比 lc 長的纖維（經驗法則是 15 倍 lc）表現得幾乎跟連續纖維一樣，等應變公式成立；而比 lc 短的纖維會被拔出，「永遠」達不到完整強度，補強效果因此差得多。就是這一個長度，解釋了為什麼短切纖維塑膠比連續纖維疊層板便宜、卻也比較弱。

從剛性到強度——以及誠實的界限

強度也有它自己的混合律，但帶著一個微妙的轉折。沿排列的連續纖維方向，複合材料的強度是（複合材料強度）= Vf 乘（纖維強度）+ Vm 乘（在纖維斷裂那個應變下的基材應力）。最後那一段很要緊：碳纖維又剛、又在很低的應變就斷了，遠早於延性基材達到「它自己的」極限強度。所以你必須用「在纖維破壞應變下」的基材應力，而不是基材的峰值——那是個比較小的數字。搞錯這點，你就會嚴重高估強度。就跟剛性一樣，纖維主宰全局，基材對這個檯面上的數字貢獻不多，卻在幕後做著至關重要的工作。

現在說誠實的但書，因為混合律是一個乾淨的平均，而現實要凌亂得多。第一，它只是「沿纖維方向」的最佳情況：橫過纖維去拉，複合材料就跟基材和界面一樣弱——纖維複合材料沿纖維方向強、橫過去弱，就這麼簡單，這也是為什麼纖維取向是攸關生死的設計抉擇。第二，纖維只有在「拉」的時候才拉得好；受壓時它們會挫曲、扭結，所以抗壓強度並不遵循同樣整齊的那條線。第三，連單一的「纖維強度」都不可盡信——像任何脆性固體一樣，纖維在它最糟的瑕疵處破壞，所以強度會散布，真正該用韋伯統計來描述，而不是一個數字。

最後，同樣的兩條界限也適用於顆粒強化複合材料，但你很少會正好落在任一條線上。像混凝土（水泥裡的石質骨材）或燒結碳化物（韌性鈷裡的硬 WC 顆粒）這類大顆粒複合材料，顆粒大致等軸、隨機堆積，所以它們真實的模數落在等應變與等應力兩界限「之間」——界限把它框住，而非釘死。還要當心一個真正的例外：散布強化複合材料，只含百分之幾的微小硬顆粒，其實根本不是靠分擔載荷在運作。那些顆粒又小又稀疏，扛不了力；它們靠釘住差排來強化，就跟析出強化一模一樣，那是強化那一階的機制，而不是混合律的效果。