一组基把任何空间变成坐标
为有限维空间 V 选一组基 B = (b_1, ..., b_n)（一组有限的 [[hamel-basis|哈梅尔基]]）。每个 v 都是唯一的线性组合 v = c_1 b_1 + ... + c_n b_n，而坐标向量 [v]_B = (c_1, ..., c_n) 落在 R^n 中。映射 v -> [v]_B 就是[[coordinate-isomorphism|坐标同构]]：它完美保持加法与数乘。
P_2 (degree <= 2 polynomials), basis B = (1, x, x^2): 3 - 5x + 2x^2 -> [v]_B = (3, -5, 2) in R^3 1 + x^2 -> (1, 0, 1) add the polynomials <=> add the coordinate triples (3-5x+2x^2)+(1+x^2) = 4 -5x +3x^2 ~ (3,-5,2)+(1,0,1)=(4,-5,3) P_2 'is' R^3 once you fix the basis -- different costume, same algebra.
同构：相同结构，不同标签
若存在双射线性变换 T: V -> W，则两个空间 V 与 W [[isomorphism-of-spaces|同构]]（V ≅ W）。同构的空间作为向量空间是*相同*的——关于其一的每个线性代数事实在另一个里都成立，只是元素改了名。同构是两个结构之间的完美词典。
- 为 V 选一组基（大小 n），为 W 选一组基（大小 m）。
- 各自给出一个坐标同构：V ≅ R^n 与 W ≅ R^m。
- R^n ≅ R^m 成立当且仅当 n = m。所以 V ≅ W 当且仅当 dim V = dim W。
维数定理：一个数说尽一切
这就是本领域的大回报——[[dimension-theorem|维数定理]]：对于固定域上的有限维空间，维数是完全不变量。两个这样的空间同构当且仅当它们维数相同。一个自然数就完全分类了*每一个*有限维向量空间，毫无残余。
两点说明让结论更锐利。其一，域很重要：C 在自身上是 1 维空间，但在 R 上是 2 维空间——这是一个被看作向量空间的域扩张。其二，定理止步于“有限维”。像函数空间 F(R) 这样的无限维空间，或无限集上的自由向量空间，（在选择公理下）仍有哈梅尔基，但没有单个整数能钉住它。然而在有限的世界里，你现在已知全部故事：结构性地思考，每个空间在同构意义下都只是一个坐标空间。