商空间：把子空间压成零

陪集：子空间的平行副本

固定 V 的一个子空间 U。对每个向量 v，[[coset|陪集]] v + U = { v + u : u 属于 U } 是经过 v 的 U 的平行平移。这些陪集就是平行于 U 的仿射子空间：U 本身是陪集 0 + U（过原点），其余任何陪集是平移后、不过原点的副本。

V = R^2, U = the x-axis = { (t, 0) }.

   coset (0,0) + U  =  the x-axis itself     (y = 0)
   coset (0,3) + U  =  horizontal line y = 3
   coset (5,3) + U  =  ALSO the line y = 3   (since (5,3)-(0,3) in U)

Key fact:  v + U = w + U   <=>   v - w in U.
Each coset is labeled by its height y; the x-coordinate is forgotten.

x 轴的陪集就是水平直线——每个高度一条。

商空间：陪集成为新向量

现在是大胆的一步：宣布每个陪集为一个全新的向量。所有陪集的集合就是[[quotient-space|商空间]] V/U。通过取代表元来做加法和数乘：(v + U) + (w + U) = (v + w) + U，a(v + U) = (av) + U。V/U 的零向量就是陪集 U 本身——所以*在商空间内部，U 中的一切都被压成了零*。

维数，以及商所“度量”的东西

dim(V/U) = dim(V) - dim(U)          (the codimension of U)

   V = R^2, U = x-axis (dim 1):  dim(V/U) = 2 - 1 = 1.
   V/U is a line: its 'vectors' are the heights y, exactly R.

Compare a complement W with V = U (+) W:
   the quotient map  W -> V/U,  w |-> w + U  is an isomorphism.
   So V/U behaves like ANY complement of U -- but without
   you having to CHOOSE one.

V/U 具有补空间的维数——而且无需任意选择。

这正是商相对于补的真正优点。补 W 是一种*选择*（回忆：从不唯一）；商 V/U 是*典范的*——一劳永逸地由 U 构造，无需任意挑选。这就是为什么商驱动了同构定理：线性映射的核被压掉，幸存下来的 V/ker 被迫与像匹配。下一篇会把这个“被迫匹配”说精确。