直和与补：把空间拆开

定义直和的唯一性

当分解唯一时，和 U + W 称为[[direct-sum|直和]]，记作 U ⊕ W：U + W 中每个 v 都能以 u + w（u 属于 U，w 属于 W）的形式恰好一种方式写出。保证这一点的唯一代数条件是 U ∩ W = {0}。

Why U ^ W = {0} forces uniqueness:
   suppose  v = u1 + w1 = u2 + w2
   then     u1 - u2 = w2 - w1
   left side in U, right side in W, so the common value
   lies in U ^ W = {0}.
   => u1 - u2 = 0 and w2 - w1 = 0  =>  u1=u2, w1=w2.  Unique!

平凡交集恰好等价于唯一分解。

补：每个子空间都有搭档

给定有限维 V 的子空间 U，[[complementary-subspace|补空间]] W 是任何满足 V = U ⊕ W 的子空间。补总是存在——把 U 的一组基扩充成 V 的基，新增的向量张成一个可行的 W。注意：补并不唯一。在 R^2 中，一条直线 U 有*许多*补直线。

M_2 的分解实例与多个直和项

Split M_2 (2x2 matrices) into symmetric + skew-symmetric:
   S = { A : A^T = A }   dim 3   (basis [1,0;0,0],[0,0;0,1],[0,1;1,0])
   K = { A : A^T = -A }  dim 1   (basis [0,1;-1,0])

Every matrix splits uniquely:
   A = (A + A^T)/2  +  (A - A^T)/2
        ^symmetric        ^skew
   S ^ K = {0}  and  dim S + dim K = 3 + 1 = 4 = dim M_2
   =>  M_2 = S (+) K.

M_2 = 对称 ⊕ 反对称——一个典范的直和分解。

直和可以串联：V = U_1 ⊕ U_2 ⊕ ... ⊕ U_k 表示每个向量都唯一地分裂到全部 k 块中。这正是对角化背后的结构引擎——可对角化的映射把 V 拆成特征子空间的直和。拆分空间很少是最终目标；它是逐块理解变换的*工具*。