子空间的格

两个子空间，两种组合方式

回忆一下，子空间是本身就是向量空间的子集（对加法和数乘封闭，且含 0）。给定 V 的两个子空间 U 和 W，免费冒出两个新子空间：它们的交 U ∩ W（同时属于二者的全部元素）和它们的和 U + W = { u + w : u 属于 U, w 属于 W }，即包含二者的最小子空间。

把它们排序，就得到一个格

用包含关系给子空间排序：U <= W 表示 U 含于 W。在这个序下，全体子空间构成一个[[subspace-lattice|格]]：任意两个都有最大下界（下确界，= 交）和最小上界（上确界，= 和）。格的底是 {0}，顶是 V 本身。

A slice of the subspace lattice of R^3 (lines L, planes P):

                R^3            <- top (V)
              /  |  \
            P1   P2   P3       <- planes (dim 2)
           /  \ /  \ /  \
          L1   L2   L3  ...    <- lines (dim 1)
            \   |   /
               {0}             <- bottom (dim 0)

   meet  P_i ^ P_j = a line   (planes intersect in a line)
   join  L_i v L_j = a plane  (two lines span a plane)

沿格上升提高维数；下确界与上确界让你下行与上行。

维数公式把一切串起来

格上有一条把下确界与上确界联系起来的优美数值定律——线性代数版的容斥原理：

   dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ^ W)

Example in R^4:
   U = span{ e1, e2, e3 }   dim 3
   W = span{ e3, e4 }       dim 2
   U ^ W = span{ e3 }       dim 1
   U + W = span{e1,e2,e3,e4}=R^4, dim 4

   check: 3 + 2 - 1 = 4.   OK.

格拉斯曼维数公式——子空间格的记账规则。

盯着这条公式：当重叠 dim(U ∩ W) 为零时，和的维数恰好是 dim(U) + dim(W)——没有任何东西被重复计算。这种干净、无损耗的情形如此重要，以至于下一篇要给它专门起个名字：直和。