数据集就是多维数组
撇开抽象，张量不过是一个多维数组：向量是一维的，矩阵是二维的，一叠矩阵则是形状为 I×J×K 的三维数组。想想用户×电影×时间，或像素行×像素列×颜色，或词×文档×主题。指标的个数就是张量的阶。
CP：简单张量之和
SVD把矩阵写成 R 个秩一片之和 ∑_r σ_r u_r v_r^T。CP 分解是它直接的三维类比：T = ∑_{r=1}^R a_r⊗b_r⊗c_r，是 R 个简单张量之和。能成立的最小 R 恰为张量秩。
Matrix (order 2): M = sum_{r=1}^R sigma_r * (u_r v_r^T) <- SVD
Tensor (order 3): T = sum_{r=1}^R a_r (x) b_r (x) c_r <- CP
Entrywise: T[i,j,k] = sum_{r=1}^R A[i,r] * B[j,r] * C[k,r]
Factor matrices A (IxR), B (JxR), C (KxR) hold the component vectors.
Storage: a full IxJxK tensor costs I*J*K numbers;
a rank-R CP model costs only R*(I+J+K) -- a huge win when R is small.
Surprise vs. matrices: tensor rank can EXCEED every dimension,
and the best rank-R approximation may FAIL to exist (ill-posed).
That is the price of leaving the safe 2-way world.Tucker：小核心乘以因子基
Tucker 分解是 SVD 的另一种推广：用各自的因子矩阵压缩每个模式，再用一个稠密的小核心张量 G 把它们粘起来。它是高阶主成分分析——为每个模式选取标准正交轴，再在这些轴上表示数据。多重线性秩（每个模式一个）就是 G 的尺寸。
- 沿每个模式把张量展开成一个矩阵，对其做SVD，为每个模式得到一个标准正交因子矩阵 U(1)、U(2)、U(3)。
- 在每个模式只保留前几个奇异方向——这就是逐模式的低秩逼近。
- 把数据投影到这些轴上得到小核心 G；模型即 G 重新接上各 U(i)。
从矩阵的入门课程到张量的多向压缩，这条主线从未断裂：万有性质为张量安家，指标运算与缩并赋予它演算法则，外代数与对称代数解释了行列式与二次型，而 CP 与 Tucker 把这一切化为压缩视频、推荐电影、分解脑扫描的算法。这就是多重线性代数的回报。