对称积
楔积要求变号，对称代数恰恰相反：v·w = w·v。把张量代数对关系 v⊗w − w⊗v = 0 作商，分次部分 Sym^k V 就成为以基向量为变量的 k 次齐次多项式空间。Sym^2 V 正是二次型的归宿——第一卷用对称矩阵 B 写作 u^T B v 的那些东西。
For n = dim V = 3:
dim Sym^k V = C(n+k-1, k).
Sym^2 of R^3 has dim C(4,2) = 6, basis:
x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz (the symmetric monomials)
-> exactly the 6 free entries of a symmetric 3x3 matrix.
Compare the two quotients of degree 2 over R^3:
dim Sym^2 V = 6 (symmetric part: T_{ij} = T_{ji})
dim Lambda^2 V = 3 (antisymmetric: T_{ij} = -T_{ji})
6 + 3 = 9 = dim(V (x) V). Every 2-tensor splits sym + antisym.向量与余向量
上指标对象 v^i 住在 V 中；下指标对象 a_i 住在由线性泛函组成的对偶空间 V* 中。没有额外结构时，这是两个不同的空间——没有把向量变成泛函的典范方式。但内积恰好提供了这座桥梁。
给定一个矩阵为 g_{ij} 的内积，降指标意为 v_i = g_{ij} v^j（与度规的缩并），升指标用逆 g^{ij}：v^i = g^{ij} v_j。在标准正交基下 g 是单位矩阵，因此升降指标毫无可见效果——这正是第一卷能够模糊向量与其转置之别的原因。
一段指标演算实例
我们来在一个具体例子上推指标。取 V = R^2，并赋予非标准正交的内积 g = [2, 1; 1, 1]，于是 g^{-1} = [1, −1; −1, 2]。我们将对同一向量先降后升，确认能回到出发点。
Metric and its inverse:
g = [ 2 1 ; 1 1 ] g^{-1} = [ 1 -1 ; -1 2 ]
(check: g * g^{-1} = I)
Start with vector v^j = (3, 4) (upper index, a genuine vector).
LOWER: v_i = g_{ij} v^j
v_1 = 2*3 + 1*4 = 10
v_2 = 1*3 + 1*4 = 7 -> v_i = (10, 7) (now a covector)
RAISE back: v^i = g^{ij} v_j
v^1 = 1*10 + (-1)*7 = 3
v^2 = (-1)*10 + 2*7 = 4 -> v^i = (3, 4) back to start.
Norm via the metric (a double contraction):
||v||^2 = g_{ij} v^i v^j = v_i v^i = 10*3 + 7*4 = 58.