外代数与楔积

把反对称作为一种设计选择

楔积 v∧w 是在张量积 v⊗w 上要求反对称后得到的：v∧w = −(w∧v)，从而 v∧v = 0。把所有这样的乘积都建出来，就得到 V 的外代数。它是整个张量代数对那些消灭对称部分的关系作商所得。

外幂及其维数

k 次部分是第 k 个外幂 Λ^k V，由指标严格递增的楔积 e_{i1}∧…∧e_{ik} 张成。它的维数是 C(n,k)＝从 n 中取 k。于是 Λ^0 V = 标量，Λ^1 V = V，而 Λ^n V 是一维的。次数超过 n 的部分全为零，因为那必然要重复某个指标。

For n = dim V = 3, basis e1,e2,e3:
  Lambda^0 V : {1}                         dim C(3,0)=1
  Lambda^1 V : {e1, e2, e3}                 dim C(3,1)=3
  Lambda^2 V : {e1^e2, e1^e3, e2^e3}        dim C(3,2)=3
  Lambda^3 V : {e1^e2^e3}                   dim C(3,3)=1
  Lambda^4 V : {0}                          (must repeat an index)

Total dim of exterior algebra = sum_k C(n,k) = 2^n  (here 1+3+3+1 = 8).

Reorder cost = sign of the permutation:
  e2 ^ e1 ^ e3 = -(e1 ^ e2 ^ e3),   e2 ^ e3 ^ e1 = +(e1 ^ e2 ^ e3).

三维空间的外幂；维数是二项式系数，求和为 2^n。

为何这就是行列式

Λ^n V 是一维的，因此线性映射 A 在其上诱导出对单个标量的乘法：(Av_1)∧…∧(Av_n) = (det A)·(v_1∧…∧v_n)。这个标量就是行列式。你在第一卷背下的那些交错、多重线性、归一化的规则，并非凭空抛出的公理——它们恰恰是最高外幂的规则。