指标的上与下
在指标记号中，向量的分量带上指标 v^i，而余向量（线性泛函）的分量带下指标 a_i。(p,q) 型张量有 p 个上指标和 q 个下指标，例如 T^{ij}_k。这个型也称为价，它说明张量有多少个向量槽和多少个余向量槽。线性映射的矩阵是 (1,1) 型：一上一下，记作 A^i_j。
缩并推广了迹
缩并把同一张量的一个上指标与一个下指标配对并对其求和，把型从 (p,q) 降为 (p-1,q-1)。把 A^i_j 仅有的两个指标缩并，即令 j = i 并求和：A^i_i = ∑_i A^i_i，这正是迹。缩并是几乎每个张量公式背后的无坐标引擎。
Matrix multiplication is a tensor contraction:
(A B)^i_k = A^i_j B^j_k (sum over the dummy j)
Trace is a self-contraction:
tr(A) = A^i_i = sum_i A^i_i
Bilinear form acting on two vectors:
f(u,v) = B_{ij} u^i v^j (contract both lower indices)
Applying a (1,1) tensor and then taking trace (contracting twice):
start from T^i_j v^j -> w^i, then contract: w^i with a_i -> a_i T^i_j v^j
Rule of thumb: count free indices to know the OUTPUT type.
A^i_j B^j_k has free i (up), k (down) => result is type (1,1), a matrix.堆叠空间：克罗内克积
当你用坐标写出两个算子的张量积时，得到的是克罗内克积 A⊗B：把 A 的每个元素 a_{ij} 替换为分块 a_{ij}B。它是映射 A⊗B 作用在 V⊗W 上的具体矩阵，并满足 (A⊗B)(C⊗D) = (AC)⊗(BD)——抽象张量恒等式的算术化身。
A = [a b; c d] (2x2), B = [p q; r s] (2x2)
A (x) B = [ a*B b*B ] = [ a p a q b p b q ]
[ c*B d*B ] [ a r a s b r b s ]
[ c p c q d p d q ]
[ c r c s d r d s ] (4x4)
Size: (m1 x n1) (x) (m2 x n2) -> (m1 m2) x (n1 n2)
Useful facts: (A (x) B)^T = A^T (x) B^T, tr(A (x) B) = tr(A) tr(B).