第一卷遗留的问题
线性映射吃一个向量，并由一个矩阵记录；点积吃两个向量，且对每个分量分别线性。这种第二类对象——固定其余分量时对每个槽位线性——就是多重线性映射。第一卷从未给它一个专属的归宿；我们总是把双线性型化简为矩阵 B，写成 f(u,v) = u^T B v。这对取值在标量的型有效，但对输出本身是向量的映射就不行了。
第二卷的核心思想：与其直接研究多重线性映射，不如构建一个空间 V⊗W，使得从 V×W 出发的每个双线性映射都变成从 V⊗W 出发的普通线性映射。我们把一类困难的映射换成更大空间上一类简单的映射。
用文字表述万有性质
万有性质说：存在一个空间 V⊗W 和一个双线性映射 (v,w) ↦ v⊗w 进入它，使得对任意双线性映射 f: V×W → U，都存在唯一的线性映射 f̃: V⊗W → U 满足 f(v,w) = f̃(v⊗w)。一句口号：V⊗W 是双线性映射的万有接收者。
元素 v⊗w 是简单（可分解）张量。它们张成 V⊗W，但并不是整个空间——一般的张量是若干简单张量之和，正如一般的矩阵是若干秩一矩阵之和。现在记住这个类比，往后处处受益。
基底层面的构造
具体地说，若 {e_1,…,e_m} 是 V 的一组基，{f_1,…,f_n} 是 W 的一组基，则 {e_i⊗f_j} 是 V⊗W 的一组基，于是 dim(V⊗W) = m·n——是相乘而非相加（对比 dim(V+W) = m+n）。简单张量 v⊗w 的坐标恰好是两个坐标向量的外积。
V = R^2 (basis e1,e2), W = R^3 (basis f1,f2,f3)
V (x) W has dim 2*3 = 6, basis {e_i (x) f_j}.
Take v = (3, -1) and w = (2, 0, 5).
The simple tensor v (x) w is the OUTER PRODUCT v w^T:
[ 3*2 3*0 3*5 ] [ 6 0 15 ]
v w^T = [ -1*2 -1*0 -1*5 ] = [ -2 0 -5 ]
Read off coordinates in basis {e_i (x) f_j}:
coeff of e1(x)f1 = 6, e1(x)f3 = 15, e2(x)f1 = -2, e2(x)f3 = -5,
the rest are 0.
NOT every 2x3 array is simple: [1 0; 0 1; ...] style arrays of rank > 1
require a SUM of simple tensors. Matrix rank = number of simple terms needed.