正定性是关于谱的陈述
一个自伴算子当对所有 x 满足 <Ax, x> >= 0 时称为半正定，当对 x != 0 严格不等时称为正定。借助谱定理，这化为一个干净的谱陈述：A 为正，当且仅当其全部特征值非负。二次型 <Ax, x> = sum lambda_i |<x, q_i>|^2 恰在每个 lambda_i >= 0 时是平方项的非负组合。这直接接回第一卷的正定矩阵。
唯一的正平方根
正定性加上函数演算给出一个干净的构造：正平方根。由于正算子 A 的每个特征值 >= 0，函数 sqrt 在谱上有定义，故 A^{1/2} = sum sqrt(lambda_i) P_i 本身是一个满足 (A^{1/2})^2 = A 的正算子。而且它在正算子之中唯一——恰有一个满足 B^2 = A 的正算子 B。
A = [2, 1; 1, 2] (positive: eigenvalues 3, 1, both > 0)
spectral resolution: A = 3 P_1 + 1 P_2
P_1 = [0.5, 0.5; 0.5, 0.5], P_2 = [0.5,-0.5;-0.5, 0.5]
positive square root applies sqrt eigenvalue-wise:
A^{1/2} = sqrt(3) P_1 + sqrt(1) P_2
= sqrt(3) [0.5,0.5;0.5,0.5] + [0.5,-0.5;-0.5,0.5]
verify: (A^{1/2})^2 = 3 P_1 + 1 P_2 = A (P_i orthogonal idempotents)
Why unique: any positive B with B^2 = A is diagonal in A's eigenbasis
and must take the NONnegative root on each eigenvalue -> forced to be A^{1/2}.正平方根并非好奇心的玩物——它是极分解 A = U |A|（其中 |A| = (A* A)^{1/2}）背后的引擎，也是统计中白化变换背后的引擎。每当你需要一个正算子的“一半”时，谱定理恰好交给你唯一的一个。
把特征值看作优化：瑞利商与极小极大
对自伴算子 A，瑞利商 R(x) = <Ax, x> / <x, x> 是 A 在方向 x 上的平均拉伸。谱定理精确钉住其取值范围：R(x) 遍历 [lambda_min, lambda_max]，当 x 是最大特征向量时取到最大特征值，当 x 是最小特征向量时取到最小特征值。于是极端特征值是一个优化问题，而不仅仅是多项式的根。
内部特征值也被库朗-费舍尔极小极大定理所捕获：第 k 个特征值是对所有 k 维子空间取极小、对每个子空间上瑞利商取极大（对偶地，是极大-极小）。这种变分描述正是特征值*稳定*的原因：外尔不等式说，把 A 扰动一个 E 至多使每个特征值移动 ||E||，因为每个特征值都是某个本身只略微移动的商的极值。