谱分解与函数演算

从 Q D Q^T 到投影算子之和

分解 A = Q D Q^T 受制于基；谱分解让它解放。把标准正交特征向量按其特征值分组，对每个互异特征值 lambda_i，令 P_i 为投到其特征子空间上的正交投影。于是 A = lambda_1 P_1 + ... + lambda_k P_k。每个 P_i 都以无坐标方式构造，即在共享该特征值的特征向量 q 上对外积 q q^T 求和。

Spectral resolution of a normal operator with eigenvalues lambda_1..lambda_k:

  P_i = sum over orthonormal eigenvectors q of lambda_i  of  q q^*

  (1)  P_i = P_i^*       each projector is self-adjoint (ORTHOGONAL projection)
  (2)  P_i^2 = P_i       idempotent
  (3)  P_i P_j = 0  (i!=j)   eigenspaces are mutually orthogonal
  (4)  P_1 + ... + P_k = I    resolution of the identity

Spectral form:
  A = lambda_1 P_1 + lambda_2 P_2 + ... + lambda_k P_k

Example  A = [2, 1; 1, 2]  (eigenvalues 3, 1):
  q_1 = (1, 1)/sqrt2,  q_2 = (1,-1)/sqrt2
  P_1 = q_1 q_1^T = [0.5, 0.5; 0.5, 0.5]
  P_2 = q_2 q_2^T = [0.5,-0.5;-0.5, 0.5]
  check  3 P_1 + 1 P_2 = [2, 1; 1, 2] = A   and  P_1 + P_2 = I.

谱分解：A 表为以特征值加权的正交投影算子之和。

正交投影算子与谱测度

相较第一卷的谱投影，关键升级在于性质（1）：这里的投影算子是*正交的*，P_i = P_i*，因为各特征子空间相互正交——这是谱定理的馈赠，对一般可对角化算子并不成立。这族 {P_i} 就是有限维投影值测度：它给每个特征值分配一个投影，“度量一个向量有多少分量驻留于此”。

函数演算：把 f 作用于算子

谱分解让函数演算变得毫不费力。要把函数 f 作用于 A，只需把它作用于每个特征值并保留同一组投影算子：f(A) = f(lambda_1) P_1 + ... + f(lambda_k) P_k。这就为谱上的任意 f *定义*了 f(A)——不限于多项式，sqrt、exp、log、1/x、甚至阶跃函数皆可——因为 A 在每个特征子空间上不过是乘以 lambda_i。

对正规算子作 A = U D U* 的对角化，从 D 的对角线读出其谱 {lambda_i}。
逐标量施加 f：构造对角矩阵 f(D) = diag(f(lambda_1), ..., f(lambda_n))。
再共轭回去：f(A) = U f(D) U*，等价于按谱分解对 f(lambda_i) P_i 求和。