伴随算子与“正规”的含义
在 C 上，转置的正确对应物是共轭转置 A*（先转置，再把每个元素取共轭），由 <Ax, y> = <x, A*y> 定义。一个算子当与自身伴随可交换时称为正规：A A* = A* A。这比自伴性更弱——自伴（A = A*）只是两个因子字面相等的特例——但它恰好是分量刚好的结构。
定理本身，以及正规为何恰到好处
复数谱定理陈述：一个复算子可酉对角化，当且仅当它是正规的。可酉对角化意指 A = U D U*，其中 U 是酉矩阵（各列标准正交）、D 为对角矩阵——这是 A = Q D Q^T 的复数孪生。其中“仅当”方向是干净的部分：若 A = U D U*，则 A* = U D* U*，而对角矩阵彼此可交换，故 A A* = U D D* U* = U D* D U* = A* A，于是 A 必为正规。
Reading off the spectrum class from normality:
A normal, A = U D U*. The eigenvalues are the diagonal of D.
A is self-adjoint (A = A*) <=> every eigenvalue is REAL
A is skew-adjoint (A = -A*) <=> every eigenvalue is IMAGINARY
A is unitary (A* A = I) <=> every eigenvalue has |lambda| = 1
Example (unitary rotation, normal but NOT self-adjoint):
R = [0, -1; 1, 0] over C
R* R = I (unitary) -> eigenvalues +i, -i (both on |z| = 1)
no real eigenvectors, but a full ORTHONORMAL complex eigenbasis exists.深刻的方向——正规蕴含可酉对角化——经由舒尔定理：每个复算子都可酉*三角化*，A = U T U*，T 为上三角。当 A 还是正规的时候，同一个 A A* = A* A 强制 T 的非对角元素全部为零，使三角形坍缩为对角形。正规性恰恰是把舒尔三角化升级为完全对角化的那个条件。
复原实数定理，与凯莱之桥
如今实数谱定理作为推论自然落出。实对称矩阵是自伴的，从而正规，于是在 C 上可酉对角化；但其特征值为实、特征向量可取为实，故酉矩阵 U 实际上是一个实正交矩阵 Q。两条定理之间的落差，恰是“实特征值”（对称）与“特征值可处于 C 中任意位置”（一般正规）之间的差别。