从对角化到实数谱定理

第一卷把对角化留在何处

第一卷给了你对角化：当算子 A 拥有一组特征基时即可对角化，于是 A = P D P^-1。但有两件事悬而未决。其一，并非每个算子都能对角化——亏损算子就不能。其二，即便 P 存在，它的各列通常只是*某一组*基：彼此不正交，故 P^-1 是一个别扭的逆，而非干净的转置。

对于一类特殊算子，谱定理一举修复这两处缺陷。对这些算子，一组由特征向量构成的标准正交基*总是*存在，故换基矩阵是一个满足 Q^-1 = Q^T 的正交矩阵 Q。对角化化为 A = Q D Q^T——保持几何结构、数值稳定，且无条件得到保证。

对称即自伴

这类特殊算子就是对称（实）算子：A = A^T。其重要性在于，对称性是一个内积条件的矩阵投影。一个实算子当满足 <Ax, y> = <x, Ay> 对所有 x, y 成立时称为*自伴*；在配标准点积的 R^n 上，这恰好就是 A = A^T。自伴算子的谱定理最好用这种内积语言陈述，因为真正起作用的是对称性本身，而非记号上的形式。

Why eigenvalues are real (the one-line argument):

  let A v = lambda v,  v != 0.  Take the inner product with v:
      lambda <v, v>  =  <A v, v>  =  <v, A v>  =  conj(lambda) <v, v>
  since <v, v> > 0,  lambda = conj(lambda)  =>  lambda is REAL.

Why eigenvectors are orthogonal across distinct eigenvalues:

  A u = a u,  A w = b w,  a != b:
      a <u, w> = <A u, w> = <u, A w> = b <u, w>
      (a - b) <u, w> = 0   and a != b   =>   <u, w> = 0.

自伴性强制特征值为实、特征向量正交。

实数谱定理：陈述与运用

把它合起来：一个实算子可正交对角化，当且仅当它是对称的。这就是实数谱定理，其矩阵形式是正交特征分解 A = Q D Q^T，其中 Q 正交、D 为实对角矩阵。无需通过任何重数检验，也无需操心域——仅凭对称性即可交付一组完整的标准正交特征基，纵使特征值重复亦然。

A = [2, 1; 1, 2]            # symmetric:  A = A^T

characteristic poly: det(A - x I) = (2 - x)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3
  eigenvalues:  lambda_1 = 3,  lambda_2 = 1   (both real, as promised)

eigenvectors:
  lambda = 3:  (A - 3I) v = 0  ->  v_1 = (1, 1)
  lambda = 1:  (A - 1I) v = 0  ->  v_2 = (1, -1)
  check <v_1, v_2> = 1 - 1 = 0   -> already orthogonal!

normalize and stack into Q:
  q_1 = (1,  1)/sqrt(2),  q_2 = (1, -1)/sqrt(2)
  Q = [ 1/sqrt2,  1/sqrt2 ;  1/sqrt2, -1/sqrt2 ]    (Q^T Q = I)

then  A = Q D Q^T  with  D = diag(3, 1).

一个对称 2x2 矩阵的正交对角化：A = Q D Q^T。

请注意特征向量天然正交。当某个特征值重复时，其特征子空间是多维的，你可在其中任取一组经格拉姆-施密特标准正交化的基；不同特征值的特征子空间本已正交，故各部件拼合成一组标准正交特征基。实数定理的微妙之处全都关乎这种重特征值的自由度——我们将在第二篇看到复数版本的故事。