回报——任意域上的相似性

完整的相似不变量

两个矩阵 A 与 B 相似（即存在可逆 P 使 B = P A P^-1），当且仅当它们有相同的有理标准形——等价地，有相同的一列不变因子。RCF 是完整不变量：它看见相似性所关心的一切，而不掺杂任何无关之物。

这严格强于仅检查特征多项式与极小多项式。这两者在不相似的矩阵上也可能相同；而完整的不变因子列表从不撒谎。

相似性与域无关

这里是深层的惊喜。设 A 与 B 元素皆为有理数。你可能担心它们要等到把 Q 扩大到复数之后才相似。但事实上相似性与域无关：若 A 与 B 在一个大域上相似，那么它们在所栖身的小域上就已经相似。

原因既机械又优美：xI - A 的史密斯标准形由多项式行列变换算得，而这些变换从不离开基域。因此有理矩阵的不变因子本身就是有理的，扩大域无法改变它们。

有理标准形与若尔当标准形如何相遇

当域大到包含每个特征值时（例如在 C 上），两种标准形都存在，且它们是同一组初等因子的两种视角——参见有理标准形与若尔当标准形。素幂初等因子 (x - lambda)^m 化为大小为 m、特征值为 lambda 的若尔当块，或者准素有理形式中 (x - lambda)^m 的友矩阵。

Same operator, two canonical forms when lambda lives in the field:

  elementary divisor   (x - lambda)^3

  Jordan block:          companion (primary rational):
  [ lambda  1     0    ]   [ 0  0   lambda^3            ]
  [ 0     lambda  1    ]   [ 1  0  -3 lambda^2          ]
  [ 0       0   lambda ]   [ 0  1   3 lambda            ]

Same invariant data; different bases. Over a field missing lambda,
only the companion (rational) form survives.

同一个初等因子，呈现为若尔当块或友矩阵块。

这就是整条主线的回报。从第一门课程的一个问题出发——两个矩阵何时是同一算子的伪装？——我们穿过模、史密斯标准形与不变因子，抵达一个唯一、可计算、与域无关且完全无需特征值的答案。有理标准形就是相似性问题的盖棺定论。