构造有理标准形

多项式的友矩阵

每个循环部分 F[x]/(d_i) 由 d_i 的友矩阵表示：算子“乘以 x”在基 {1, x, x^2, ...} 下的表示。其最后一列放置该多项式（取负）的系数，而次对角线上的一串 1 负责移位。

For monic d(x) = x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_1 x + c_0,
the companion matrix C(d) is

  [ 0  0  ...  0   -c_0     ]
  [ 1  0  ...  0   -c_1     ]
  [ 0  1  ...  0   -c_2     ]
  [ .        .       .      ]
  [ 0  0  ...  1   -c_{n-1} ]

Key fact: char poly of C(d) = min poly of C(d) = d(x).

Example  d = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1:

  C(d) = [ 0  -1 ]
         [ 1   2 ]

堆叠各个块

A 的有理标准形是块对角矩阵，其各块为不变因子 d1 | d2 | ... | dk 按整除顺序排列的友矩阵。由于结构定理唯一地产生这些 d_i，该矩阵被完全确定——这就给出了有理标准形的存在性与唯一性。

1. 构造 xI - A 并把它在 F[x] 上化为史密斯标准形。
2. 舍弃常数 1；剩下的对角元就是不变因子 d1 | ... | dk。
3. 把每个 d_i 替换为它的友矩阵 C(d_i)。
4. 把这些 C(d_i) 沿对角线排列；所得块对角矩阵即为 A 的有理标准形。

从标准形免费读出多项式

通过从不变因子求极小/特征多项式，标准形免费给你两个不变量：特征多项式是所有不变因子之积 d1 d2 ... dk，而极小多项式是最大的那个 dk（由整除链，它是其余每个 d_i 的倍数）。