把算子变成一个模

从标量到多项式

向量空间 V 允许你用域 F 中的标量 c 去缩放向量 v。现在固定 V 上的线性算子 T 并发问：能否也让多项式来缩放向量？定义 x 作用在 v 上为 T(v)。于是 x^2 作用为 T(T(v))，而多项式 p(x) = c0 + c1 x + ... 作用为 c0 v + c1 T(v) + ...。我们便赋予了 V 一个由多项式环 F[x] 给出的作用。

一个带有加法、并有一个环作用其上（满足通常规则）的集合，称为模。因此配备了这一作用的 V 就是[[f-x-module-structure|F[x]-模结构]]。模是向量空间的自然推广，其标量来自环而非域。

为何这是个绝妙的技巧

环 F[x] 是一个主理想整环（PID）——每个理想都由单个元素生成，恰如整数 Z。关于 PID 上的模有一条深刻的分类定理。把 V 变成PID 上的模后，我们就能免费地把该定理用到 T 上。整个相似性问题成为模分类的一个特例。

一个循环模的实例

当单个向量 v0 通过反复施加 T 生成整个 V 时，V 是循环的。此时生成空间 {v0, T v0, T^2 v0, ...} 最终停止增长，而第一个相关关系给出了那个“零化”v0 的多项式。

V = R^3,  pick v0.   Apply T over and over:

  v0,  T v0,  T^2 v0,  T^3 v0, ...

The first time T^3 v0 is a linear combination of the earlier ones, say

  T^3 v0 = a*v0 + b*(T v0) + c*(T^2 v0),

rearrange to read off the monic polynomial that annihilates v0:

  ( x^3 - c x^2 - b x - a ) acts as 0 on v0.

That polynomial is the order of the cyclic module F[x]*v0.