为什么若尔当标准形还不够

第一卷的终点

在第一门课程里你学过对角化：若矩阵 A 拥有一整组独立的特征向量，就能写成 A = P D P^-1，其中 D 为对角阵。并非每个矩阵都可对角化，于是若尔当标准形通过在对角线正上方允许出现 1 来补足缺口。两种工具回答的是同一个问题——两个矩阵何时相似？——但都有一个隐藏代价。

这个隐藏代价就是特征值。若尔当块由特征多项式的根 lambda 构造而成。如果这些根不属于你的域，那么在该域上根本不存在若尔当标准形。

一个没有特征值的矩阵

在有理数域 Q 上工作。取旋转 90 度的矩阵，它的特征多项式为 x^2 + 1，在 Q 中（甚至在 R 中）都没有根。因此在 Q 上这个矩阵不可对角化，也没有若尔当标准形——然而它是一个再普通不过的线性算子，我们理应能够对它分类。

A = [ 0  -1 ]     over the field Q
    [ 1   0 ]

char poly  det(xI - A) = x^2 + 1
roots in Q?  none      (x^2 + 1 is irreducible over Q)

=>  A is NOT diagonalizable over Q
=>  A has NO Jordan form over Q
but A is a genuine operator -- we still want a canonical form for it.

旋转 90 度：一个没有有理（甚至实）特征值的真实算子。

无需任何根的标准形

有理标准形（RCF）正好解决这一问题。它不是由特征值构造，而是由系数在你的域中的多项式构造——因此对任意域上的任意算子它都存在，无需代数闭包。代价是它的块看起来不同：得到的不是接近对角的若尔当块，而是多项式的友矩阵。