回报：主轴、二次曲线，与超越实数

主轴定理

配方法用任意可逆 P 对角化，这会扭曲长度与角度。主轴定理说，对实对称型你能做得更好：存在一个正交的 P（旋转/反射，P^T = P^-1）使 P^T A P 为对角阵。由于 P 正交，合同与相似重合，故对角元素恰是 A 的特征值。

分类二次曲线与二次曲面

现在是几何回报。一般的二次曲线 a x^2 + b xy + c y^2 + ... = 1 是 q(x) 加上线性项；主轴定理旋转掉交叉项，配方法平移掉线性项，于是曲线呈现于标准位置。此时二次部分的符号差便决定了形状——无需作图。

[[conic-classification]] in R^2 by the signature of the quadratic part:

  signature (2, 0)  both eigenvalues same sign  -> ELLIPSE
  signature (1, 1)  eigenvalues opposite signs  -> HYPERBOLA
  signature (1, 0)  one zero eigenvalue         -> PARABOLA (degenerate axis)

Worked example:  5 x^2 + 4 xy + 5 y^2 = 9
  A = [5, 2; 2, 5]   eigenvalues  3 and 7   (both > 0)
  rotate to principal axes:   3 u^2 + 7 v^2 = 9
  signature (2, 0)  ->  an ELLIPSE, semi-axes sqrt(9/3), sqrt(9/7).

二次部分的符号差无需作图即可分类二次曲线。

同一台机器在任意维数运转。在 R^3 中，二次曲面的分类——椭球面、单叶与双叶双曲面、抛物面、锥面——可从一个 3x3 对称矩阵的符号差读出。一个不变三元组 (p, q, z)，只需算一次，就命名了一张你本来难以想象的曲面。

超越实数：埃尔米特型与辛形式

在 C 上，x^T A x 可能是复数，对度量长度毫无用处，于是我们对一个槽位取共轭：埃尔米特型对一个变元线性、对另一个共轭线性，A 满足 A* = A（共轭转置）。它的取值 q(x) = x* A x 总是实的，有一个实符号差，并有自己的谱定理——埃尔米特矩阵可酉对角化且特征值为实。这是量子力学背后的型。

而第二篇那条反对称线索抵达终点：非退化的交替型是一个辛形式，且惯性律有一个惊人的类比——给定偶数维的所有辛形式都彼此合同。恰好只有一个，标准矩阵为 [0, I; -I, 0]；没有符号差，没有形状可分类，因为只有一种形状。这是哈密顿动力学之下那刚性的几何。