西尔维斯特惯性定律：符号差与正定性

不同的对角，相同的符号

第三篇留下一处令人不安的自由：对角元素 d_i 取决于你所选的代换。把 y_i 缩放 c 倍会把 d_i 缩放 c^2 倍，所以在 R 上大小不是不变量。但每个 d_i 的符号能挺过任何正缩放，而这正是真正不变量得以逃逸的缝隙。

西尔维斯特惯性定律把这说精确：对一个实对称型，无论你如何对角化它，正对角元素的个数（记为 p）、负的个数（q）与零的个数（z）总是相同。三元组 (p, q, z) 是一个合同不变量——它根本不依赖于基。

符号差与型的分类

符号差是数对 (p, q)——等价于单个数 p - q。由惯性定律，n 个变量的两个实二次型合同当且仅当它们符号差相同。这是一个完全不变量：在 R 上，对每个满足 p + q + z = n 的容许 (p, q, z) 恰有一个型（至多差合同），且每个型都合同于 diag(+1, ..., +1, -1, ..., -1, 0, ..., 0)。

正定性不过是符号差的极端情形，直接从 (p, q, z) 读出：正定意味着 p = n（全为正，x != 0 时 q(x) > 0）；负定意味着 q = n；半正定意味着 q = 0 但存在零；不定意味着 p > 0 且 q > 0。第三篇里 q = y1^2 - 3 y2^2 的例子符号差为 (1, 1)——不定。

西尔维斯特判据：从子式判定正定性

你很少为了知道符号而专门去对角化。西尔维斯特判据直接从矩阵读出正定性：对称 A 是正定的当且仅当每个顺序主子式都为正——左上角 1x1、2x2、……、n x n 块的行列式全 > 0。（对负定，顺序主子式须从负开始交替变号。）

Test  A = [2, 1; 1, 2]  for positive-definiteness:
   leading 1x1 minor:  det[2]          = 2  > 0   OK
   leading 2x2 minor:  det[2,1; 1,2]   = 3  > 0   OK
   => A is positive definite (signature (2, 0)).

Now  A = [1, 2; 2, 1]  (the Guide 3 example):
   1x1 minor:  1  > 0     OK so far...
   2x2 minor:  det = 1 - 4 = -3  < 0   FAILS
   => not positive definite; signature is (1, 1), indefinite.