借助合同把型对角化

型的矩阵如何随基改变

用可逆矩阵 P 作换基，记 x = P x'。则 B(x, y) = x^T A y = (x')^T (P^T A P) y'，所以在新基下型的矩阵是 P^T A P，不是 P^-1 A P。这就是合同，它是型的正确等价关系——区别于第一卷中支配算子的相似 P^-1 A P。

目标：化为平方和

把二次型对角化意味着找到一组坐标，使其没有交叉项：q = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2。等价地，找到可逆 P 使 P^T A P 为对角阵，即一组关于该型的正交基——彼此 B-正交的基向量，即 i != j 时 B(e_i, e_j) = 0。值得注意的定理是：在任何特征不为 2 的域上，每个对称型都可对角化。

Complete the square on  q(x) = x1^2 + 4 x1 x2 + x2^2

Group the x1 terms and complete the square:
   q = (x1^2 + 4 x1 x2) + x2^2
     = (x1 + 2 x2)^2 - 4 x2^2 + x2^2
     = (x1 + 2 x2)^2 - 3 x2^2

New coordinates:   y1 = x1 + 2 x2 ,   y2 = x2
   => q = y1^2 - 3 y2^2          (a clean sum of squares)

Matrix view:  A = [1, 2; 2, 1]   congruent to   diag(1, -3)
Signs of the diagonal: one +, one -  (remember this for Guide 4).

配方法借助合同把二次型对角化。

配方法算法

选一个以非零系数出现平方的变量；收拢所有含它的项并配方，为配成的整组引入一个新变量。
剩下的是仅含其余变量的二次型；对它递归，直到用尽每个变量。
若没有平方项可用（例如 q = 2 x1 x2），先代换 x1 = u + v, x2 = u - v 制造出平方项，再继续。
把所有线性代换复合成一个 P；结果将 q 写成平方和，并展示出合同 P^T A P = D。