对称、反对称，与二次型的诞生

把任意型拆成两半

若对一切 u, v 有 B(u, v) = B(v, u)，则型是对称的——等价于其矩阵满足 A^T = A。若对一切 v 有 B(v, v) = 0，则型是交替（反对称）的，这在大多数域上强制 A^T = -A。在任何 2 可逆的域上，每个型都唯一地分解为对称部分与反对称部分之和。

Any matrix A splits as A = S + K with:
   S = (A + A^T) / 2   symmetric   (S^T = S)
   K = (A - A^T) / 2   skew        (K^T = -K)

Example  A = [2, 1; 0, 3] from Guide 1:
   A^T = [2, 0; 1, 3]
   S = (A + A^T)/2 = [2,   0.5; 0.5, 3]
   K = (A - A^T)/2 = [0,   0.5; -0.5, 0]
   check:  S + K = [2, 1; 0, 3] = A         OK

从对称型到二次型

给定一个对称双线性型 B，把同一个向量喂给它两次：q(x) = B(x, x)。结果是一个二次型——坐标中的二次齐次多项式 q(x) = x^T A x，其中 A 对称。长度平方 ||x||^2 就是内积的二次型；能量、方差与二次曲线方程，全都是乔装的二次型。

这一联系双向通行。由型限制到对角线即得 q；反过来，极化恒等式 B(u, v) = (1/2)( q(u + v) - q(u) - q(v) ) 从二次型重建出对称型。所以对称双线性型与其二次型携带完全相同的信息——同一对象的两种视角。

初尝反对称世界

反对称这一半并非废料——它自有丰富的理论。非退化的交替型是一个辛形式，它是哈密顿力学与相空间背后的几何。反对称型的行为与对称型大不相同：例如非退化的交替型只能存在于偶数维，这是一个引人注目的事实，你将在最后一篇重访它。