第一卷悄悄假定的东西
在第一卷中，内积 <u, v> 是你度量长度与角度的工具。但看看它实际在做什么：它吞入两个向量并返回一个标量，且对每个变元分别线性。点积 u^T v 就是范例。这两点——两个输入、各自线性——就是全部骨架；对称性与正性是我们现在要释放的附加条件。
向量空间 V 上的双线性型 B 是任意映射 B: V x V -> F，当固定第二个变元时对第一个槽位线性，当固定第一个变元时对第二个槽位线性。不要求对称，不要求正性。内积只是一个非常乖巧的双线性型；本专题余下部分探索整个家族。
一旦固定基，每个型都是一个矩阵
固定一组基 e_1, ..., e_n。一个双线性型完全由 n^2 个数 a_ij = B(e_i, e_j) 决定，因为线性把型铺展到各坐标上。把它们收进格拉姆矩阵 A = [a_ij]；于是对坐标列向量 x, y，有 B(x, y) = x^T A y。选定基把抽象的型变成普通的矩阵运算。
B(x, y) = x^T A y (A is the Gram matrix in this basis)
Example on R^2 with A = [2, 1; 0, 3]:
B(x, y) = [x1 x2] [2, 1; 0, 3] [y1; y2]
= 2 x1 y1 + 1 x1 y2 + 0 x2 y1 + 3 x2 y2
Read it off: the coefficient of x_i y_j is exactly a_ij.
a_11 = 2 = B(e_1, e_1)
a_12 = 1 = B(e_1, e_2)
a_21 = 0 = B(e_2, e_1) <- note a_12 != a_21: NOT symmetric
a_22 = 3 = B(e_2, e_2)退化：根与非退化型
内积绝不会让一个非零向量对一切都给出零，但一般的型可以。B 的根是所有满足 B(v, w) = 0 对一切 w 成立的向量 v 之集——那些型根本看不见的方向。在坐标下，根恰是 A 的零空间。当根仅为 {0} 时，型是非退化的，等价于 det A != 0。