收官：可对角化性是一道多项式判据

可对角化判据

压顶定理：T 可对角化当且仅当它的极小多项式分解为不同的线性因子，m_T(x) = (x - lambda_1)...(x - lambda_r)，且各 lambda_i 互不相同。这就是极小多项式可对角化判据。无需数特征向量，无需比较几何重数与代数重数——一次分解就裁决。

(=>) 若 T 可对角化、不同特征值为 lambda_1,...,lambda_r，则 prod (T - lambda_i I) 杀死每个特征向量，从而杀死整个空间。故 prod (x - lambda_i) 零化 T 且 m_T 整除它——m_T 无平方因子。
(<=) 若 m_T = prod (x - lambda_i) 的根互异，则各因子两两互素。据第四篇，V = (+) ker(T - lambda_i I)，特征空间的直和。存在特征向量基，故 T 可对角化。

实例诊断：相同的特征多项式，不同的命运

Both matrices have char poly p(x) = (x - 5)^2.

A = [5, 0;     B = [5, 1;
     0, 5]          0, 5]

A - 5I = 0          B - 5I = [0,1; 0,0] != 0
=> m_A(x) = x - 5    => (B-5I)^2 = 0, (B-5I) != 0
   (distinct, deg 1)    so m_B(x) = (x - 5)^2 (repeated)

Verdict via the test:
  m_A squarefree   -> A IS diagonalizable (already diagonal)
  m_B has (x-5)^2  -> B is NOT diagonalizable (Jordan block)

相同的特征多项式；极小多项式区分可对角化与亏损。

关于域的告诫：「分解为线性因子」预设了特征值落在你的域里。若 m_T 不可约（例如实数域上的 x^2 + 1，即 90 度旋转），则没有实特征值，T 在 R 上不可对角化——但它在分裂域 C 上可以，那里 m_T = (x - i)(x + i) 无平方因子。可对角化性依赖于域；多项式判据把这种依赖讲得明明白白。

两段尾声：系数即幂和，与可交换性

特征多项式的系数是特征值的对称函数，而牛顿恒等式通过幂和 p_k = sum lambda_i^k = trace(T^k) 表达它们。你只需对矩阵幂求迹即可算出这些幂和——无需特征值——再代数地恢复 p_T 的所有系数。迹与行列式不过是这一族中的第一个与最后一个。

最后，使这一切融贯的结构性原因：同一算子的任意两个多项式彼此可交换，f(T) g(T) = g(T) f(T)，因为它们都是同一个 T 的幂之和。这正是为何第四篇的投影、第二篇的逆、以及函数演算中的函数都住在同一个交换代数 F[T] 里——这个代数由 m_T 主宰。知道 m_T 就等于知道 T 生成的整个代数。由友矩阵的构造，每个首一多项式都被实现为某个算子的特征多项式且极小多项式——所以这套理论不是特例，而是相似意义下算子的整个版图。