互素因子、中国剩余定理与谱投影

互素分解使空间分裂

设 m_T = f g，其中 f 与 g 互素（gcd(f, g) = 1）。由贝祖定理存在多项式 a, b 使 a f + b g = 1。在 T 处求值：a(T) f(T) + b(T) g(T) = I。定义 P = b(T) g(T)、Q = a(T) f(T)；则 P + Q = I。这是互素分解与中国剩余定理的算子形式。

P 与 Q 是互补投影：P^2 = P，Q^2 = Q，P Q = 0。它们的像是 V_f = ker f(T) 与 V_g = ker g(T)，且 V = V_f (+) V_g。每个直和项都是 T-不变的，因为 P 与 Q 是 T 的多项式，而算子的多项式与它可交换。我们就把算子的定义域分解为独立的不变块。

多个因子：用插值构造谱投影

当 m_T(x) = prod (x - lambda_i) 分解为不同的线性因子时（可对角化情形，见第五篇），各 (x - lambda_i) 两两互素，故 V = (+)_i ker(T - lambda_i I)：特征空间的直和。可用拉格朗日插值把每个投影到 lambda_i-特征空间的 P_i 写成 T 的单个多项式。

Distinct eigenvalues lambda_1, ..., lambda_r.

Lagrange basis polynomial for lambda_i:
  L_i(x) = prod_{j != i} (x - lambda_j) / (lambda_i - lambda_j)

It satisfies L_i(lambda_j) = 1 if j == i, else 0.

Spectral projection onto the lambda_i eigenspace:
  P_i = L_i(T)

Properties:  P_i P_j = 0 (i != j),  sum_i P_i = I,
             T = sum_i lambda_i P_i   (spectral resolution)

拉格朗日插值直接把谱投影制造成 T 的多项式。

恒等式 T = sum_i lambda_i P_i 就是谱分解。它呼应第一卷的谱定理，却不需要内积——只需 m_T 分解为不同的线性因子。几何（正交投影）被纯代数（插值投影）所取代。

函数演算：合理地定义 f(T)

在特征值互不相同时，任何在谱上有定义的函数 f 都给出算子 f(T) = sum_i f(lambda_i) P_i。这个多项式函数演算把标量函数一致地转化为算子：它与普通的多项式代入一致，且 (fg)(T) = f(T) g(T)。你只需作用在特征值上就能构造 sqrt(T)、exp(T) 或 T^{-1}。